Tigela de Mértola: Trigonometria e Geometria Plana | Matemática B 11º ano

A Figura 6 é uma fotografia de uma tigela, datada do século XI, com a representação de uma corça, exposta no Museu de Mértola.
A Figura 7 é uma representação geométrica plana da vista de cima dessa tigela.
No esquema da Figura 7, que não está à escala, podem observar-se:

• duas circunferências concêntricas, de centro O, com diâmetros 20 cm e 12 cm;
• uma linha poligonal constituída por dezasseis segmentos de reta, com igual comprimento, cujos vértices pertencem, alternadamente, a uma e outra circunferências.
Em cada uma das circunferências, os arcos de circunferência entre dois pontos consecutivos têm o mesmo comprimento.
Determine o comprimento da linha poligonal constituída pelos dezasseis segmentos de reta.
Apresente o resultado em centímetros, arredondado às décimas.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, utilize quatro casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo: Considerar, por exemplo, o triângulo [MOT], sendo M e T dois vértices consecutivos da linha poligonal, e o ponto N, projeção ortogonal de M em TO (como se representa na figura) (2 pontos). Obter MÔT (22,5°) (3 pontos). Determinar MN (3 pontos). Escrever $\text{sen } 22,5^\circ = \frac{MN}{6}$ (ou equivalente) (2 pontos). Obter $MN$ (1 ponto). Determinar ON (3 pontos). Escrever $\cos 22,5^\circ = \frac{ON}{6}$ (ou equivalente) ou aplicar o Teorema de Pitágoras (2 pontos). Obter $ON$ (1 ponto). Obter $TN$ (1 ponto). Determinar MT (5 pontos). Escrever $MT^2 = MN^2 + TN^2$ (ou equivalente) (2 pontos). Obter $MT$ (1 ponto). Obter o comprimento da linha poligonal (80,2 cm) (2 pontos). 2.º Processo: Considerar, por exemplo, o triângulo [PTO], o ponto N, ponto médio de [PT] e o ponto M, sendo P, M e T três vértices consecutivos da linha poligonal (como se representa na figura) (2 pontos). Obter PÔN (22,5°) (3 pontos). Determinar PN (3 pontos). Escrever $\text{sen } 22,5^\circ = \frac{PN}{10}$ (ou equivalente) (2 pontos). Obter $PN$ (1 ponto). Determinar ON (3 pontos). Escrever $\cos 22,5^\circ = \frac{ON}{10}$ (ou equivalente) ou aplicar o Teorema de Pitágoras (2 pontos). Obter $ON$ (1 ponto). Obter $MN$ (2 pontos). Determinar PM (3 pontos). Escrever $PM^2 = PN^2 + NM^2$ (ou equivalente) (2 pontos). Obter $PM$ (1 ponto). Obter o comprimento da linha poligonal (80,2 cm) (2 pontos).