Prisma e Plano Mediador: Determinar Coordenadas | Matemática A 12º Ano

Na Figura 3, está representado, em referencial o.
n.
Oxyz, o prisma triangular [ABCDEF] .
Sabe-se que:

• os pontos A e B têm coordenadas (4, 2, 0) e (2, 3, -3), respetivamente;
• o ponto C pertence ao plano mediador do segmento de reta [AB];
• a reta DF é definida pela equação vetorial (x, y, z) = (-7, 4, 2) + k(1, 1, −5), k∈R.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do ponto C.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Designemos por α o plano mediador do segmento de reta [AB]. Reconhecer que o ponto C é o ponto de interseção da reta BC com o plano α ..................................................................................................... 2 pontos Obter uma equação do plano α ..................................................................... 4 pontos Obter as coordenadas do vetor AB ((-2,1,-3)) .............................................. 1 ponto Obter as coordenadas do ponto médio do segmento de reta [AB] ((3, 5/2, -3/2)) ........................................................................ 1 ponto Escrever -2x+y-3z + d = 0 ......................................................................... 1 ponto Obter o valor de d (-1) ................................................................................. 1 ponto Escrever uma equação vetorial da reta BC ((x, y, z) = (2, 3, −3) + k(1, 1, −5), k∈R) .................................................... 2 pontos Reconhecer que as coordenadas do ponto C são da forma (2 + k, 3 + k, −3−5k) ................................................................................ 1 ponto Escrever -2(2 + k) + 3 + k − 3(−3−5k) −1 = 0 (ou equivalente) ................. 2 pontos Obter o valor de k (-1/2) ................................................................................ 1 ponto Obter o pedido ((3/2, 5/2, -1/2)) .................................................................... 2 pontos