Funções: Assíntotas, Continuidade e Monotonia | Matemática A 12º ano

Considere uma função, f, de domínio R, diferenciável em R{1}.
Sabe-se que:

• a função f é crescente em ]−∞, 1[ e em ]1, + ∞[ ;
• a reta de equação x = 1 é assíntota ao gráfico da função f.
Considere as proposições seguintes.
I.
A função f é contínua em x = 1.
II.
A reta de equação y = -x + 2 é tangente ao gráfico da função f num ponto de abcissa diferente de 1.
Justifique que as proposições I e II são falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Tópicos de resposta • Justificação da falsidade da proposição I. Exemplo: Se a reta de equação x = 1 é assíntota ao gráfico da função f, pelo menos um dos limites laterais de f em x=1 é +∞ ou -∞, sendo, por isso, diferente de f(1), pelo que, f não pode ser contínua em x=1. • Justificação da falsidade da proposição II. Exemplo: Como a função f é crescente em ]−∞, 1[ e em ]1,+ ∞[, a sua derivada, nos pontos em que existe, é não negativa. Assim, o declive de qualquer reta tangente ao gráfico da função f num ponto de abcissa diferente de 1, por ser igual à derivada da função na abcissa do ponto de tangência, não pode ser negativo.

Parâmetro	Nível	Descritor de desempenho	Pontuação
A Conteúdos	4	Apresenta, de forma completa, as duas justificações solicitadas.	12
	3	Apresenta, de forma completa, uma das justificações solicitadas e, de forma incompleta, a outra justificação.	9
	2	Apresenta, de forma completa, apenas uma das justificações solicitadas. OU Apresenta, de forma incompleta, as duas justificações solicitadas.	6
	1	Apresenta, de forma incompleta, apenas uma das justificações solicitadas.	3
B Linguagem Científica	2	Utiliza adequadamente o vocabulário específico da Matemática.	2
	1	Utiliza, embora com uma ou mais falhas, o vocabulário específico da Matemática.	1