Análise de Função Cúbica: Simetria de Interseções com Reta (Matemática A 12º Ano 2025)

Sejam a, b e c números reais não nulos, e seja f a função, de domínio R, definida por f(x) = ax³ + bx + c.
Seja r uma reta que intersecta o gráfico da função f no ponto de abcissa zero.
Mostre que, se a reta r intersectar o gráfico da função f noutros dois pontos distintos, então esses pontos têm abcissas simétricas.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Designemos por A o ponto do gráfico de f de abcissa nula e por B e C os pontos do gráfico de f de abcissas x_B e x_C, não nulas. Reconhecer que, se B e C também pertencerem à reta r, então as retas AB e AC têm o mesmo declive .......................................... 3 pontos Escrever (f(x_B) - f(0)) / (x_B - 0) = (f(x_C) - f(0)) / (x_C - 0) (ou equivalente) ......... 2 pontos Reconhecer que f(0) = c ................................................................................ 1 ponto Escrever (ax_B³ + bx_B + c - c) / x_B = (ax_C³ + bx_C + c - c) / x_C ...................................... 2 pontos Obter x_B(ax_B² + b) = x_C(ax_C² + b) (ou equivalente) .......................................... 2 pontos Obter a(x_B² - x_C²) = 0 ................................................................................ 2 pontos Obter x_B = x_C ∨ x_B = -x_C ............................................................................ 2 pontos Concluir o pretendido .................................................................................... 1 ponto