Números Complexos: Equidistância de Afixos - Exame Matemática A 12º Ano 2025

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Considere, em C, conjunto dos números complexos, os números z₁ = 2i¹⁹ e z₂ = (-3+i)/(1+i).
Seja w = -sqrt(2) k e^(i 3pi/4), com k ∈ R.
Determine o valor de k para o qual o afixo de w é equidistante do afixo de z₁ e do afixo de z₂.

Reconhecer que z₁ = -2i ................................................................................. 1 ponto Escrever z₂ = (-3+i)(1- i) / ((1 + i)(1 – i)) ............................................................. 1 ponto Obter z₂ = -1 + 2i ........................................................................................... 2 pontos Escrever w na forma algébrica ......................................................................... 3 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Escrever e^(i 3π/4) = -√2/2 + i√2/2 .................................................................... 2 pontos Obter w = k - ki ............................................................................................... 1 ponto 2.º Processo Escrever -√2 k e^(i 3π/4) = √2 k e^(i 7π/4) ............................................................ 1 ponto Escrever e^(i 7π/4) = √2/2 - i√2/2 ..................................................................... 1 ponto Obter w = k - ki ............................................................................................... 1 ponto Escrever |w - z₁| = |w - z₂| (ou equivalente) ...................................................... 3 pontos Escrever k² + (2 – k)² = (k + 1)² + (-k-2)² (ou equivalente) ............................... 3 pontos Obter o valor pedido (-1/10) ............................................................................ 1 ponto