Geometria Analítica: Encontrar Vértice de Pirâmide (Matemática A 12º Ano 2025)

Na Figura 3, está representada, em referencial o.
n.
$Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.
Sabe-se que:

• $overline{AB} = sqrt{6}$ ;
• o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(2, -1, 3)$;
• o ponto $V$ tem abcissa positiva;
• o plano $ABC$ é definido pela equação $2x - y + z - 8 = 0$ ;
• o volume da pirâmide é $4sqrt{6}$.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do ponto $V$.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Obter a altura da pirâmide (2\sqrt{6}) ....................................................................................... 1 ponto Reconhecer que || \vec{MV} || = 2\sqrt{6} ......................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o vetor de coordenadas (2, -1, 1) é um vetor diretor da reta MV ........................................................................................................................ 2 pontos Escrever uma equação vetorial da reta MV ((x, y, z) = (2, −1, 3) + k(2, −1,1), k\in\mathbb{R}) ......................................................................... 2 pontos Reconhecer que as coordenadas do ponto V são da forma (2 + 2k, −1 − k, 3 + k) ........................................................................................................ 2 pontos Obter || \vec{MV} || = \sqrt{(2k)² + (−k)² + k²} (ou equivalente) .................................................... 2 pontos Obter 6k² = 24 (ou equivalente) .......................................................................................... 1 ponto Obter os valores de k (−2 e 2) ........................................................................................... 1 ponto Obter o pedido ((6, -3, 5)) ................................................................................................. 2 pontos 2.º Processo Obter a altura da pirâmide (2\sqrt{6}) ....................................................................................... 1 ponto Reconhecer que || \vec{MV} || = 2\sqrt{6} ......................................................................................... 1 ponto Reconhecer que V = M + \vec{MV} .......................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o vetor de coordenadas (2, -1, 1) e o vetor \vec{MV} são colineares ..................................................................................................................... 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do vetor \vec{MV} são da forma (2k, -k, k) ....................... 2 pontos Obter || \vec{MV} || = \sqrt{(2k)² + (−k)² + k²} (ou equivalente) .................................................... 2 pontos Obter 6k² = 24 (ou equivalente) .......................................................................................... 1 ponto Obter os valores de k (−2 e 2) ........................................................................................... 1 ponto Obter as coordenadas do vetor \vec{MV} ((4, −2, 2)) .......................................................... 2 pontos Obter o pedido ((6, -3, 5)) ................................................................................................. 2 pontos