Pintar uma Pirâmide: Exercício de Análise Combinatória | Matemática A 12º Ano

Na Figura 3, está representada, em referencial o.
n.
$Oxyz$, a pirâmide regular de base quadrada $[ABCD]$ e vértice $V$.
Sabe-se que:

• $overline{AB} = sqrt{6}$ ;
• o centro da base da pirâmide, $M$, tem coordenadas $(2, -1, 3)$;
• o ponto $V$ tem abcissa positiva;
• o plano $ABC$ é definido pela equação $2x - y + z - 8 = 0$ ;
• o volume da pirâmide é $4sqrt{6}$.
Pretende-se pintar as cinco faces da pirâmide $[ABCDV]$, dispondo-se, para o efeito, de seis cores distintas.
Todas as condições seguintes deverão ser respeitadas:

• cada face é pintada com uma só cor;
• são utilizadas, no mínimo, quatro das seis cores disponíveis;
• duas faces que tenham uma aresta em comum são pintadas com cores diferentes.
A expressão seguinte representa o número total de formas possíveis de pintar as cinco faces da pirâmide respeitando as condições enunciadas.
$^6C_4 imes 2 imes 4! + ^6A_5$ Explique, no contexto descrito, cada parcela desta expressão.

Tópicos de resposta • Explicação da parcela C_4^{6} \times 2 \times 4! . Exemplo: Existem C_4^{6} maneiras de escolher quatro das seis cores disponíveis para pintar as faces da pirâmide com quatro cores; para cada uma dessas maneiras, existem duas maneiras de escolher as duas faces opostas que têm de ser pintadas com a mesma cor e, para cada uma destas escolhas, existem 4! maneiras de pintar as faces da pirâmide usando as quatro cores escolhidas. • Explicação da parcela A_5^{6}. Exemplo: Existem A_5^{6} maneiras de pintar as faces da pirâmide com cinco das seis cores disponíveis, permutando as cores pelas faces.

Parâmetro	Nível	Descritor de desempenho	Pontuação
A Conteúdos	4	Apresenta, de forma completa, as duas explicações solicitadas.	12
	3	Apresenta, de forma completa, uma das explicações solicitadas e, de forma incompleta, a outra explicação.	9
	2	Apresenta, de forma completa, apenas uma das explicações solicitadas. OU Apresenta, de forma incompleta, as duas explicações solicitadas.	6
	1	Apresenta, de forma incompleta, apenas uma das explicações solicitadas.	3
B Linguagem Científica	2	Utiliza adequadamente o vocabulário específico da Matemática.	2
	1	Utiliza, embora com uma ou mais falhas, o vocabulário específico da Matemática.	1