Geometria Analítica e Cálculo Diferencial: Exame Matemática A 12º Ano 2025

Seja $g$ uma função diferenciável, de domínio $mathbb{R}$, cuja derivada, $g'$, é definida por $g'(x) = cos (3x) + \frac{3}{2}x + 1$ Resolva os itens 11.
1.
e 11.
2.
sem recorrer à calculadora.
Seja $r$ a reta tangente ao gráfico da função $g$ no ponto de abcissa $0$, e seja $s$ uma reta perpendicular à reta $r$.
Sabe-se que:

• a reta $s$ intersecta os eixos $Ox$ e $Oy$ nos pontos $A$ e $B$, respetivamente;
• o ponto $A$ tem abcissa positiva;
• o triângulo $[OAB]$ tem área igual a 12.
Determine a abcissa do ponto $A$.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Designemos por xA a abcissa do ponto A e por yB a ordenada do ponto B. Reconhecer que a área do triângulo é dada por frac{xA |yB|}{2} .............................................. 1 ponto Reconhecer que o declive da reta r é g'(0) ..................................................................... 2 pontos Obter g'(0) (2) .................................................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o declive da reta s é frac{-1}{g'(0)} ............................................................... 1 ponto Obter o declive da reta s (-\frac{1}{2}) ..................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o declive da reta s é frac{-yB}{xA} ................................................................ 2 pontos Obter frac{yB}{xA} = frac{1}{2} (ou equivalente) ................................................................................ 1 ponto Reconhecer que yB > 0 ........................................................................................................ 1 ponto Escrever frac{xA \times xA}{2} = 12 (ou equivalente) ......................................................................... 1 ponto Resolver a equação frac{xA \times xA}{2} = 12 ................................................................................ 2 pontos Obter o pedido (4\sqrt{3}, ou equivalente) .............................................................................. 1 ponto 2.º Processo Reconhecer que a área do triângulo é dada por frac{xA |yB|}{2} .............................................. 1 ponto Reconhecer que o declive da reta r é g'(0) ..................................................................... 2 pontos Obter g'(0) (2) .................................................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o declive da reta s é frac{-1}{g'(0)} ............................................................... 1 ponto Obter o declive da reta s (-\frac{1}{2}) ..................................................................................... 1 ponto Escrever y = -\frac{1}{2} x + yB (ou equivalente) ......................................................................... 1 ponto Reconhecer que 0 = -\frac{1}{2} xA + yB ...................................................................................... 1 ponto Obter yB = frac{xA}{2} (ou equivalente) ..................................................................................... 1 ponto Reconhecer que yB > 0 ........................................................................................................ 1 ponto Escrever frac{xA \times xA / 2}{2} = 12 (ou equivalente) ................................................................... 1 ponto Resolver a equação frac{xA \times xA / 2}{2} = 12 ........................................................................... 2 pontos Obter o pedido (4\sqrt{3}, ou equivalente) .............................................................................. 1 ponto 3.º Processo Reconhecer que frac{OA \times OB}{2} = 12 ................................................................................... 1 ponto Obter OB = frac{24}{OA} (ou equivalente) .............................................................................. 1 ponto Reconhecer que o declive da reta r é g'(0) ..................................................................... 2 pontos Obter g'(0) (2) .................................................................................................................... 1 ponto Reconhecer que o declive da reta s é frac{-1}{g'(0)} ............................................................... 1 ponto Obter o declive da reta s (-\frac{1}{2}) ..................................................................................... 1 ponto Reconhecer que a ordenada na origem da reta s é positiva ........................................... 1 ponto Obter uma equação da reta s em função de OA (y = -\frac{1}{2} x + frac{24}{OA}) .................. 2 pontos Resolver a equação 0 = -\frac{1}{2} OA + frac{24}{OA} ....................................................................... 3 pontos Obter o pedido (4\sqrt{3}, ou equivalente) .............................................................................. 1 ponto