Prova de Existência com o Teorema de Bolzano | Matemática A 12º Ano

Seja $a$ um número real positivo, e seja $h$ uma função contínua de domínio $[0, a]$ e contradomínio $[0, a]$ .
Prove que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função $h$ que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.

Equacionar o problema (h(x) = x, ou equivalente) ......................................................... 2 pontos Considerar a função f definida por f(x) = h(x) – x ........................................................... 2 pontos Referir que f é contínua em [0, a] (ver nota) ..................................................................... 2 pontos Justificar que f(0) \geq 0 ....................................................................................................... 2 pontos Justificar que f(a) \leq 0 ....................................................................................................... 2 pontos Referir que, se f(0) = 0 ou se f(a) = 0 , a intersecção existe no ponto de coordenadas (0, 0) ou no ponto de coordenadas (a, a), respetivamente ................. 2 pontos Referir que, se f(0) < 0 e f(a) > 0 , o teorema de Bolzano-Cauchy permite concluir o pretendido ........................................................................................... 2 pontos Nota – Se apenas for referido que a função f é contínua, esta etapa deve ser considerada cumprida.