Continuidade de Funções por Ramos com Limites | Matemática A 12º Ano

Considere a função $f$, de domínio $mathbb{R}$, definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{1-e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 1 & \text{se } x = 0 \frac{x^2 + ln (e^x + e)}{x+1} & \text{se } x > 0 \end{cases}$ Resolva os itens 3.
1.
e 3.
2.
sem recorrer à calculadora.
Averigue se a função $f$ é contínua em $x=0$.

Reconhecer que a função f é contínua em x = 0 se lim x→0+ f(x) = lim x→0- f(x) = f(0) ................................. 2 pontos Determinar lim x→0+ f(x) ................................................................................................................ 2 pontos Reconhecer que lim x→0+ f(x) = lim x→0+ frac{x² + ln(e^x + e)}{x+1} .................................................... 1 ponto Obter lim x→0+ f(x)=1 .................................................................................................................. 1 ponto Determinar lim x→0- f(x) ................................................................................................................. 8 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que lim x→0- f(x) = lim x→0- frac{1-e^{-x}}{x} .................................................................... 1 ponto Escrever lim x→0- frac{1-e^{-x}}{x} = lim y=-x y→0+ frac{1-e^{y}}{-y} = lim y→0+ frac{e^{y}-1}{y} ........................................ 4 pontos Obter lim y→0+ frac{e^{y}-1}{-y} = lim y→0+ frac{e^{y}-1}{y} = 1 ............................................................................................ 2 pontos Obter lim x→0- f(x) = 1 ............................................................................................................... 1 ponto 2.º Processo Reconhecer que lim x→0- f(x) = lim x→0- frac{1-e^{-x}}{x} .................................................................... 1 ponto Obter lim x→0- frac{1-e^{-x}}{x} = lim x→0- frac{1 - 1/e^x}{x} ............................................................................ 2 pontos Obter lim x→0- frac{e^{x}-1}{x e^x} ...................................................................................... 1 ponto Reconhecer que lim x→0- frac{e^{x}-1}{x e^x} = lim x→0- frac{e^{x}-1}{x} \times lim x→0- frac{1}{e^x} ................................................. 2 pontos Obter lim x→0- f(x)=1 ................................................................................................................ 2 pontos Referir que f(0) = 1 ............................................................................................................... 1 ponto Concluir que a função f é contínua em x = 0 .................................................................... 1 ponto