Exame Matemática A 12.º Ano 2025: Números Complexos (2.ª Fase)

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Considere, em $mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $z = \frac{5ai^{15}}{1-2i} + sqrt{2} e^{\frac{7pi}{4}i}$, com $a in mathbb{R}$.
Sabe-se que $ \text{Im}(z) – \text{Re}(z) = 1$.
Determine $z$ na forma trigonométrica.

Identificar i¹⁵ com −i ............................................................................................................ 1 ponto Obter frac{5ai^{15}}{1-2i} = 2a - ai ................................................................................................ 3 pontos Escrever \sqrt{2} e^{frac{7\pi}{4}i} na forma algébrica (1 – i) ................................................................... 2 pontos Obter z = 2a + 1 + (−a −1)i (ou equivalente) ............................................................... 2 pontos Reconhecer que −a −1 −2a −1 = 1 ................................................................................ 2 pontos Obter o valor de a (−1) ...................................................................................................... 1 ponto Obter z = −1 ........................................................................................................................ 1 ponto Escrever z na forma trigonométrica (e^{\pi i}, ou equivalente) ........................................... 2 pontos