Matemática B 11.º Ano (2008): Decaimento Radioativo e Datação com C-14

Sabe-se que Leonardo da Vinci (1456-1519) também se interessava por Matemática.
Numa melancólica nota sobre a noite de 30 de Novembro de 1504, escreveu o seguinte, numa caligrafia regular e da direita para a esquerda (como costumava):
«Na noite de Santo André, encontrei a solução para a quadratura do círculo, quando se acabavam a candeia, a noite e o papel em que estava a escrever.
Terminei-a de manhã».
Durante anos e anos, procuraram-se, entre os infindáveis cadernos que nos deixou, os manuscritos contendo as reflexões feitas naquela noite.
Em vão:
nunca foram encontrados.
Nas férias da Páscoa de 2008, o Manuel foi passar uns dias a casa dos avós.
Vasculhando coisas velhas no sótão, encontrou uns papéis corroídos pelo tempo, escritos em italiano antigo e também numa caligrafia regular, da direita para a esquerda:
pareciam ser o tão procurado caderno de Leonardo sobre a quadratura do círculo.
Ficou espantado.
Imagine que o Manuel lhe pede a si que estude a possibilidade de a autoria dos papéis ser de Leonardo da Vinci.
Admita que, numa aula de Matemática B, aprendeu que a massa de carbono 14 (C₁₄), presente num artefacto desde a sua produção, é dada pela fórmula
y(t) = c e⁻⁰,⁰⁰⁰¹²¹ ᵗ
em que c é a massa original de C₁₄, em gramas, e t é o tempo, em anos, decorrido desde o momento da produção do artefacto.
Decidiu, por isso, recorrer a um laboratório científico especializado em análises de C₁₄, que o informou do seguinte:
o manuscrito contém 96% da massa de C₁₄ original, ou seja, designando por c a massa de C₁₄ original, a massa de C₁₄ que o manuscrito contém é de 0,96 c.
Com base nesta informação, redija um pequeno texto para o Manuel, no qual constem:

• a idade do papel (em número inteiro de anos);

• a data (em anos) em que terá sido fabricado;

• a conclusão quanto à possibilidade de Leonardo da Vinci ser o autor do manuscrito.

Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta: «De acordo com a informação dada pelo laboratório, a percentagem da massa de C₁₄ encontrado nos manuscritos é de 96% da massa de C₁₄ original, pelo que se tem: c * e⁻⁰,⁰⁰⁰¹²¹ ᵗ = 0,96c ⇔ e⁻⁰,⁰⁰⁰¹²¹ ᵗ = 0,96 ⇔ −0,000121 t = ln (0,96) ⇔ t ≈ 337 Concluímos, assim, que a idade do papel é de cerca de 337 anos. Como ele foi analisado laboratorialmente em 2008, resulta que terá sido fabricado por volta de 1671, atendendo a que 2008 − 337 =1671. Ora, como Leonardo da Vinci morreu em 1519, o manuscrito não é da sua autoria.» Tal como o exemplo ilustra, a composição deverá contemplar os seguintes tópicos: • idade do papel; • data em que terá sido fabricado; • conclusão pela não autoria de Leonardo da Vinci. Na tabela seguinte, indica-se como deve ser classificado este item, de acordo com os níveis de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa descritos nos critérios gerais e os níveis de desempenho no domínio específico da disciplina:

Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa	Níveis
Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina	1	2	3
3	A resposta contempla, correctamente, os três tópicos solicitados.	18	19	20
2	A resposta contempla, correctamente, dois dos tópicos solicitados.	12	13	14
1	A resposta contempla, correctamente, apenas um dos tópicos solicitados.	6	7	8

Notas: 1. Apenas podem ser atribuídas classificações correspondentes a um dos valores constantes do quadro. Não há lugar a classificações intermédias. No caso de a resposta não atingir o nível 1 de desempenho no domínio específico da disciplina, a classificação a atribuir é zero pontos. Neste caso, não é classificado o desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa. 2. O examinando pode resolver a equação c * e⁻⁰,⁰⁰⁰¹²¹ ᵗ = 0,96 recorrendo à calculadora. 3. Se o examinando se enganar no cálculo da idade do papel, deve considerar-se que a composição não contempla o primeiro tópico. Os tópicos seguintes devem ser analisados de acordo com o erro cometido. Em particular, o erro poderá levar o examinando a concluir pela possibilidade de a autoria do manuscrito ser de Leonardo da Vinci. No entanto, em caso algum pode concluir pela autoria de Leonardo da Vinci. Se o examinando expressar tal conclusão, deve considerar-se que a composição não contempla o terceiro tópico.