Matemática A 12º Ano: Raiz Cúbica de Números Complexos | Exame 2008, 1ª Fase

Em C, conjunto dos números complexos, considere $z_1 = 1-sqrt{3}i$ e $z_2 = 8 operatorname{cis} 0$ (i designa a unidade imaginária).
Mostre, sem recorrer à calculadora, que $(-z_1)$ é uma raiz cúbica de $z_2$.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos: 1.º processo Calcular (z1) na forma algébrica (1 ponto) Concluir que $(-z_1) = \sqrt[3]{z_2} \Leftrightarrow (-z_1)^3 = z_2$ (2 pontos) Calcular $(-z_1)^3$ na forma algébrica (10 pontos) $(-1 + \sqrt{3}i)^3 = (-1 + \sqrt{3}i)^2 \times (-1 + \sqrt{3}i)$ (2 pontos) Quadrado do binómio (4 pontos) Multiplicação (4 pontos) ou Desenvolver a potência utilizando o Binómio de Newton (5 pontos) Restantes cálculos (5 pontos) Concluir que $8 = 8 \text{ cis } 0$ (2 pontos) 2.º processo Calcular $(-z_1)$ na forma trigonométrica (7 pontos) Calcular $(-z_1)$ na forma algébrica (1 ponto) Módulo de $(-z_1)$ (2 pontos) Argumento de $(-z_1)$ (3 pontos) Escrever $(-z_1)$ na forma trigonométrica (1 ponto) ou Módulo de $z_1$ (2 pontos) Argumento de $z_1$ (3 pontos) Escrever $z_1$ na forma trigonométrica (1 ponto) Escrever $(-z_1)$ na forma trigonométrica (1 ponto) Concluir que $(-z_1) = \sqrt[3]{z_2} \Leftrightarrow (-z_1)^3 = z_2$ (2 pontos) Calcular $(-z_1)^3$ ($8 \text{ cis } (2\pi)$ ou equivalente) (4 pontos) Concluir que $8 \text{ cis } (2\pi) = z_2$ (2 pontos) 3.º processo Escrever a expressão geradora das raízes cúbicas de $z_2$ (2 pontos) Concluir que uma das raízes cúbicas de $z_2$ é $2 \text{ cis} (\frac{2\pi}{3})$ (5 pontos) Escrever $2 \text{ cis} (\frac{2\pi}{3})$ na forma algébrica ou $(-z_1)$ na forma trigonométrica (ver nota) (7 pontos) Nota: A escrita de $(-z_1)$ na forma trigonométrica deve ser classificada de acordo com o já discriminado no 2.º processo; a escrita de $2 \text{ cis} (\frac{2\pi}{3})$ na forma algébrica deve ser classificada de acordo com o seguinte critério: $2 \text{ cis}(\frac{2\pi}{3}) = 2 (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \text{ sen}(\frac{2\pi}{3}))$ (1 ponto) $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ (2 pontos) $\text{sen}(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 pontos) Restantes cálculos (2 pontos) Concluir que $2 \text{ cis}(\frac{2\pi}{3}) = (-z_1)$ (1 ponto)