Exame Matemática A 12º Ano 2008 (1.ª Fase): Área de Triângulo com Gráficos de Funções

Considere, num referencial ortonormado xOy, os gráficos das funções f e g, de domínio [0, 3], definidas por $f(x) = ln (x + 2)$ e $g(x) = e - e^{x-1}$ (ln designa logaritmo de base e).
Determine a área de um triângulo [OAB], com aproximação às décimas, recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Para construir o triângulo [OAB], percorra os seguintes passos:

• visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções, no domínio indicado;
• reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora;
• assinale, ainda:
– a origem O do referencial; – o ponto A de intersecção do gráfico das duas funções, indicando as suas coordenadas, com aproximação às décimas; – o ponto B de intersecção do gráfico da função g com o eixo Ox.

Representar graficamente a função $f$ em $[0, 3]$ (2 pontos) Representar graficamente a função $g$ em $[0, 3]$ (2 pontos) Assinalar devidamente o ponto $O$ (1 ponto) Assinalar devidamente o ponto $A$ (1 ponto) Coordenadas aproximadas do ponto $A (1,4; 1,2)$ (ver nota) (1 + 1) (2 pontos) Assinalar devidamente o ponto $B$ (1 ponto) Coordenadas do ponto $B(2, 0)$ (1 + 1) (2 pontos) Desenhar o triângulo $[OAB]$ (1 ponto) Expressão que dá a área do triângulo $[OAB]$ (2 pontos) Área do triângulo $[OAB]$ (1 ponto) Nota: São de aceitar, sem qualquer desvalorização, para valores das coordenadas do ponto $A$, valores que difiram dos valores dados numa décima. Se forem apresentados outros valores, que não respeitem o referido anteriormente, a classificação a atribuir à respectiva etapa deve ser de zero pontos.