Estudo de Monotonia e Extremos Relativos | Matemática A 12º Ano (2008)

Seja h a função de domínio $]-1, +infty[$, definida por $h(x) = 4 - x + ln(x+1)$ (ln designa logaritmo de base e).
Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Estude a função h, quanto à monotonia, no seu domínio.
Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o.

Determinar $h'(x)$ (2 pontos) Determinar os zeros de $h'$ (4 pontos) Escrever a equação $h'(x) = 0$ (1 ponto) $h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (3 pontos) Estudar o sinal de $h'$ e consequente conclusão, relativamente à monotonia e aos extremos relativos de $h$, com recurso a um quadro (5 pontos) Primeira linha do quadro (relativa à variável $x$, de acordo com o domínio da função) (2 pontos) Sinal de $h'$ (2 pontos) Relação entre o sinal de $h'$ e a monotonia de $h$ (1 ponto) Determinar o máximo ($h(0) = 4$) (2 pontos) Indicar os intervalos de monotonia (ver nota) (2 pontos) Nota: A resposta correcta é o intervalo $]-1, 0]$, para a indicação do intervalo onde a função é monótona crescente, e o intervalo $[0, +\infty[$, para a indicação do intervalo onde a função é monótona decrescente. No entanto, é de aceitar, sem qualquer desvalorização, o intervalo de $]-1, 0[$ para o intervalo onde a função é monótona crescente e $]0, +\infty[$ para o intervalo onde a função é monótona decrescente.