Matemática A 12º Ano (2008, 1ª Fase): Cálculo de Tempo em Modelo Logístico de Crescimento.

Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva.
Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproximadamente, por:
$N(t) = \frac{2000}{1 + 199 e^{-0,01 t}} , quad t ge 0$ Resolva, usando métodos analíticos, os dois itens seguintes.
Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000?

Equacionar o problema $N(t) = 1000$ (2 pontos) Resolver a equação $\frac{2000}{1 + 199 e^{-0,01 t}} = 1000$ (11 pontos) Obter a equação $e^{-0,01 t} = \frac{1}{199}$ (ou equivalente) (5 pontos) Obter a equação $-0,01 t = \ln (\frac{1}{199})$ (3 pontos) Restantes cálculos (3 pontos) Resposta: 529 ou 530 dias (2 pontos)