Matemática 11.º Ano (2009): Teste de Circuitos de Euler (2.ª Fase)

A empresa GNC, de transporte de gás natural comprimido, está sediada em Sines.
A sua frota de distribuição utiliza diferentes trajectos, que ligam as cidades de Coimbra, Évora, Faro, Lagos, Porto, Vila Real e Sines.
A distribuição começa sempre em Sines e termina sempre em Sines.
Na figura 1, encontra-se o grafo que serve de modelo aos vários circuitos utilizados pela GNC.
Cada vértice do grafo representa uma cidade, e cada aresta representa um trajecto que liga duas cidades.
Mostre que não é possível organizar um circuito que permita que um camionista da GNC cumpra, em simultâneo, as seguintes condições:

• entregar gás natural comprimido em todas as cidades representadas no grafo da figura 1;

• percorrer, uma e uma só vez, cada trajecto representado;

• percorrer todos os trajectos representados.

Referir que os circuitos que permitem ao camionista cumprir, em simultâneo, as três condições devem ser circuitos de Euler 10 pontos Justificar que o grafo da figura 1 não admite circuitos de Euler 10 pontos Referir que o grafo é conexo 5 Referir que nem todos os vértices são de grau par 5