Probabilidade Condicionada (Regra de Bayes) - Matemática 11º Ano Exame 2009

Um armazenista recebe de duas fábricas, Alfa e Beta, televisores de uma determinada marca, em igual proporção.
Na fábrica Alfa, um terço da produção destina-se ao mercado nacional, e a restante é exportada para África.
Na fábrica Beta, um quarto da produção destina-se ao mercado nacional, metade é exportada para o Brasil, e a restante é exportada para África.
O armazenista escolhe, aleatoriamente, um dos televisores.
Calcule a probabilidade de o televisor escolhido ser produzido pela fábrica Alfa, sabendo que ele se destina ao mercado nacional.

Apresenta-se a seguir um exemplo de resposta: Considerando os acontecimentos A: «O televisor escolhido é fabricado pela fábrica Alfa» e N: «O televisor escolhido destina-se ao mercado nacional», então: $$p(N) = p(A) \times p(N | A) + p(\bar{A}) \times p(N | \bar{A}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{7}{24}$$ Pela regra de Bayes, $$p(A|N) = \frac{p(A) \times p(N | A)}{p(A) \times p(N | A) + p(\bar{A}) \times p(N | \bar{A})} = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}{\frac{7}{24}} = \frac{4}{7}$$ Logo, $p(A|N) = \frac{4}{7}$. Determinar $p(N)$ 10 pontos Determinar $p(A) \times p(N | A)$ 5 pontos Determinar $p(A | N)$ 5 pontos