Análise de Modelos Exponencial e Logarítmico (H1N1) - Matemática 11.º Ano

Exercício de Matemática Aplicada (2010) sobre análise comparativa de funções (logarítmica e sigmoidal) que modelam a propagação do vírus H1N1.

Matemática Aplicada às Ciências SociaisH1N1modelos matemáticosfunção sigmoidalfunção logarítmicaanálise gráficaexame 201011º ano
Informações do Exame

Ano Escolar: 11º Ano

Disciplina: Matemática Aplicada às Ciências Sociais (835)

Ano: 2010

Fase: 1.ª Fase

Pergunta nº: 3.3

Exame: Abrir PDF

Critérios de Classificação: Abrir PDF

Pergunta (3.3)
Num Serviço de Atendimento à Gripe (SAG), o número aproximado de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, no dia t do mês de Agosto de 2009, é dado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.
A(t) = 62,10 / (1 + 25 × e^-0,797t)
No mesmo SAG, o número aproximado de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, no dia t do mês de Setembro de 2009, é dado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.
S(t) = 62,11 + ln(1,5 + t)
Assim, por exemplo, o número aproximado, arredondado às unidades, de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, no dia 3 de Agosto de 2009, é 19, pois A(3) ≈ 18,88426, e, no dia 4 de Setembro de 2009, é 64, pois S(4) ≈ 63,81475.
Nos três itens seguintes, pode recorrer à calculadora.
Sempre que recorrer às capacidades gráficas da calculadora, apresente o(s) gráfico(s) obtido(s), bem como as coordenadas de pontos relevantes para a resolução do problema proposto (por exemplo, coordenadas de pontos de intersecção de gráficos, máximos, mínimos, etc.
).
Sempre que recorrer a uma tabela obtida na calculadora, apresente todas as linhas da tabela relevantes para a resolução do problema proposto.
No mês de Agosto e no mês de Setembro, o número aproximado de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, arredondado às unidades, apresenta-se seguindo modelos matemáticos diferentes.
Num pequeno texto, analise as representações gráficas dos modelos A e S.
Na sua resposta, deve:

• reproduzir os gráficos e descrever a forma como evoluiu o número aproximado de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, em cada um dos meses referidos;

• apresentar as diferenças entre o número aproximado, arredondado às unidades, de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1 no início e no final de Agosto, e no início e no final de Setembro;

• comparar os resultados obtidos.
Critério de Classificação
Apresenta-se, a seguir, um exemplo de resposta (ver nota). y t A(t) = 62,10 / (1 + 25 x e^-0,797t) S(t) = 62,11 + ln(1,5 + t) 80 70 S(t) 1 5 63 60 A(t) 50 2 10 63 40 30 29 62 66 20 30 62 66 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 x 31 62 -- Através das representações gráficas obtidas na calculadora, pode constatar-se: no modelo A, observa-se que o número de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1 aumentou muito nos primeiros dias do mês de Agosto, tendo estabilizado a partir de um certo momento; no modelo S, verifica-se que o número de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1 aumentou pouco ao longo do mês de Setembro. No dia 1 de Agosto, registaram-se 5 casos e, no dia 31 de Agosto, 62 casos, ou seja, verificou-se uma diferença de cerca de 57 casos no registo, por dia, entre o início e o final do mês de Agosto. No dia 1 de Setembro, registaram-se 63 casos e, no dia 30 de Setembro, 66 casos, ou seja, verificou-se uma diferença de 3 casos no registo, por dia, entre o início e o final do mês de Setembro. Os números identificados mostram uma diferença maior entre o número de casos confirmados, diariamente, de infecção pelo vírus H1N1, no mês de Agosto do que no mês de Setembro. Tal como o exemplo ilustra, para que a resposta a este item possa ser considerada correcta e completa, deve estar de acordo com os seguintes pontos: 1 - reproduzir os gráficos e descrever a forma como evoluiu o número aproximado de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1, em cada um dos meses referidos; 2 - apresentar as diferenças entre o número aproximado, arredondado às unidades, de casos confirmados de infecção pelo vírus H1N1 no início e no final de Agosto, e no início e no final de Setembro; 3- comparar os resultados obtidos. A classificação faz-se de acordo com os níveis de desempenho a seguir descritos.
Descritores do nível de desempenho no domínio específico da disciplina Descritores do nível de desempenho no domínio da comunicação escrita em língua portuguesa Níveis*
1 2 3
6 Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A e S, determinar a diferença solicitada em A e S e comparar os resultados. 18 19 20
5 Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A e S e determinar a diferença solicitada em A e S. 15 16 17
4 Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A e S e determinar a diferença solicitada em A ou em S. OU Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A ou em S e determinar a diferença solicitada em A e S. 12 13 14
3 Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A e determinar a diferença em A. OU Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em S e determinar a diferença em S. OU Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em A e determinar a diferença em S. OU Reproduzir os gráficos e explicitar, correctamente, a evolução em S e determinar a diferença em A. 9 10 11
2 Determinar a diferença solicitada em A e S. 6 7 8
1 Explicitar correctamente a evolução em A ou em S ou determinar a diferença solicitada em A ou em S. 3 4 5
* Descritores apresentados no primeiro quadro constante dos Critérios Gerais de Classificação. Nota – Se o examinando apresentar uma resposta equivalente, considerada cientificamente válida, os elementos de resposta cientificamente válidos devem ser pontuados seguindo os mesmos procedimentos previstos nos descritores apresentados.
Matéria Associada
Funções exponenciais; Funções logarítmicas; Modelagem matemática; Análise gráfica; Interpretação de modelos
Resumo Pedagógico
Treinar a análise comparativa de modelos de crescimento (sigmoidal e logarítmico) através da interpretação dos seus gráficos e cálculos de variação ao longo do tempo.

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