Matemática A 12.º Ano: Complexos - Potenciação e Forma Trigonométrica (Exame 2010)

Em C, conjunto dos números complexos, considere z₁ = √2 cis (π/4) e z₂ = 3.
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine o número complexo w = (z₁⁴ + 4i) / i.
Apresente o resultado na forma trigonométrica.

Escrever o numerador da fracção na forma algébrica ..................................................... 5 pontos Escrever $z_1^4 = (\sqrt{2})^4 \operatorname{cis}(\pi)$ ................................................................ 3 pontos Escrever $4 \operatorname{cis}(\pi) = -4$ ............................................................................ 1 ponto Obter $-4 + 4i$ ................................................................................................... 1 ponto Calcular $\frac{-4+4i}{i}$ na forma algébrica .............................................................................. 5 pontos Multiplicar ambos os termos da fracção por $(-i)$ (ou equivalente) ............... 2 pontos Obter $4 + 4i$ ................................................................................................... 3 pontos Calcular $4 + 4 i$ na forma trigonométrica ................................................................. 4 pontos Determinar $|w|$ ............................................................................................... 2 pontos Indicar $\arg w = \frac{\pi}{4}$ (ou equivalente) .............................................................. 2 pontos Escrever o resultado na forma pedida $w = \sqrt{32} \operatorname{cis} \frac{\pi}{4}$ .................................................. 1 ponto