Assimptotas Oblíquas em Funções Definidas por Ramos - Matemática A 12º Ano 2010

Considere a função f, de domínio ]0, +∞[, definida por f(x) = { (eˣ - 3x)/x se 0 < x ≤ 2 ; (1/5)x - ln x se x > 2 }.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Estude a função f quanto à existência de assimptotas oblíquas.

Estudar a função $f$ quanto à existência de assimptotas oblíquas do seu gráfico (ver nota). Determinar $m$ .......................................................................................................... 5 pontos Escrever $m = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ ................................................................................ 1 ponto Calcular $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ ......................................................................................... 4 pontos Escrever $\lim_{x\to+\infty} (\frac{1}{5} - \frac{\ln x}{x})$ ............................................................................ 1 ponto Referir que $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ....................................................................... 2 pontos Obter $m = \frac{1}{5}$ ................................................................................................. 1 ponto Averiguar a existência de $b$ ..................................................................................... 3 pontos Escrever $b = \lim_{x\to+\infty} (f(x) - \frac{1}{5}x)$ ..................................................................... 1 ponto Calcular $\lim_{x\to+\infty} (f(x) - \frac{1}{5}x)$ ...................................................................... 2 pontos Concluir que o gráfico de $f$ não tem assimptotas oblíquas ...................................... 2 pontos Nota – Se o examinando calcular outro(s) limite(s) para além dos indicados, a classificação a atribuir a este item deve ser desvalorizada em 2 pontos. Se, da aplicação desta nota, resultar uma classificação negativa, este item deve ser classificado com zero pontos.