Exame Matemática A 12.º Ano 2010 (2.ª F): Área de Triângulo com Função Definida por Ramos

Considere a função f, de domínio ]0, +∞[, definida por f(x) = { (eˣ - 3x)/x se 0 < x ≤ 2 ; (1/5)x - ln x se x > 2 }.
Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Determine a área do triângulo [ABC], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.
Sabe-se que:

• A, B e C são pontos do gráfico da função f
• A e B são os pontos cujas abcissas são as soluções, no intervalo ]0, 2], da equação f(x) = f(1.
5)
• C é o ponto cuja ordenada é o mínimo da função f, no intervalo ]0, 2], e cuja abcissa pertence ao intervalo ]0, 2].
Na sua resposta, deve:

• reproduzir o gráfico da função, ou os gráficos das funções, que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
• indicar as coordenadas dos pontos A, B e C, com arredondamento às centésimas;
• apresentar o resultado pedido, com arredondamento às décimas.

Calcular $f(1.5)$ ($3 - \ln 15$) ................................................................................... 2 pontos Representar graficamente $f$ (ver nota) ................................................................... 2 pontos Indicar as coordenadas do ponto $A$ ($(0,50, 0,29)$) ............................................. 2 pontos Indicar as coordenadas do ponto $B$ ($(1,75, 0,29)$) ............................................. 2 pontos Indicar as coordenadas do ponto $C$ ($(1,00, -0,28)$) ........................................... 1 ponto Calcular a área do triângulo $[ABC]$ ....................................................................... 6 pontos Determinar $\overline{AB}$ .......................................................................................... 2 pontos Determinar a altura do triângulo $[ABC]$ relativa à base $[AB]$... ........................ 2 pontos Apresentar o resultado .................................................................................... 2 pontos Nota – Se o examinando apresentar um gráfico que não respeite o domínio de $f$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve ser desvalorizada em 1 ponto.