Matemática A 12.º Ano: Teorema de Bolzano - Exame 2010 (2.ª Fase)

Considere a função f, de domínio R, definida por f(x) = -x + e^(2x³-1).
Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Mostre que f(x) = 1.
5 tem, pelo menos, uma solução em [-2, -1].
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos: 1.º Processo: Justificar que a função $f$ é contínua em $[-2, -1]$ (ver notas 1 e 2) ........................ 4 pontos Justificar que $f(-1) < 1.5 < f(-2)$ ....................................................................... 6 pontos Calcular $f(-2)$ .............................................................................................. 2 pontos Calcular $f(-1)$ .............................................................................................. 2 pontos Escrever $f(-1) < 1.5 < f(-2)$ (ou equivalente) ............................................... 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 3) ........................................................................ 5 pontos 2.º Processo: Se o examinando considerar $g(x) = f(x) – 1.5$ Justificar que a função $g$ é contínua em $[-2, -1]$ (ver notas 1 e 2)........... 4 pontos Justificar que $g(-1) \times g(-2) < 0$ (ou equivalente) ......................................... 6 pontos Calcular $g(-2)$ .............................................................................................. 2 pontos Calcular $g(-1)$ .............................................................................................. 2 pontos Concluir que $g(-1) \times g(-2) < 0$ ............................................................... 2 pontos Concluir o pretendido (ver nota 3) ........................................................................ 5 pontos Notas: 1. Se o examinando não referir que a função é contínua em $[-2, -1]$, mas afirmar que a função é contínua em todo o seu domínio, a pontuação a atribuir, nesta etapa, não deve ser desvalorizada. 2. Se o examinando referir que a função é contínua em $]-2, -1[$, a pontuação a atribuir, nesta etapa, é de zero pontos. 3. Se o examinando não referir que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano ou do seu corolário, a pontuação a atribuir, nesta etapa, deve ser desvalorizada em 2 pontos.