Função Altura em Depósito Esférico - Matemática A 12º Ano (Exame 2010)

Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
A Figura 6 e a Figura 7 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:

• o ponto O é o centro da esfera;
• a esfera tem 6 metros de diâmetro;
• a amplitude θ, em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente.
A altura AC, em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ, por h, de domínio [0, π].
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Mostre que h(θ) = 3 - 3 cos(θ), para qualquer θ ∈ ]0, π[

Mostrar que $h(\theta) = 3 - 3 \cos(\theta)$, para $\theta\in [0, \frac{\pi}{2}]$ (ver nota). .................... 7 pontos Justificar que $\overline{CO} = 3 \cos(\theta)$ .................................................................... 4 pontos Indicar $\overline{AO}$ ($3$m) ...................................................................................... 1 ponto Concluir que $h(\theta) = 3 - 3 \cos(\theta)$ ................................................................. 2 pontos Mostrar que $h(\theta) = 3 – 3 \cos(\theta)$, para $\theta\in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$ ............................ 7 pontos Escrever $\overline{CO}$ em função de $\cos(\pi – \theta)$ ................................................ 2 pontos Escrever $\overline{CO}$ em função de $\cos(\theta)$ ....................................................... 2 pontos Indicar $\overline{AO}$ ($3$m) ...................................................................................... 1 ponto Concluir que $h(\theta) = 3 – 3 \cos(\theta)$ ................................................................. 2 pontos Concluir que $h(\theta) = 3 - 3 \cos(\theta), \forall \theta \in [0, \pi]$ .......................................... 1 ponto Nota – Se o examinando considerar $\theta\in ]0, \pi[$ em vez de $\theta\in [0, \frac{\pi}{2}]$, esta etapa deve ser pontuada com 5 pontos $(3 + 1 + 1)$.