Matemática A 12.º Ano: Geometria e Equações Trigonométricas (Exame 2010)

Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.
A Figura 6 e a Figura 7 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.
Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.
Sabe-se que:

• o ponto O é o centro da esfera;
• a esfera tem 6 metros de diâmetro;
• a amplitude θ, em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente.
A altura AC, em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ, por h, de domínio [0, π].
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
Resolva a condição h(θ) = 3, θ ∈ ]0, π[.
Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.

Escrever $3 - 3 \cos(\theta) = 3$ ................................................................................. 2 pontos Obter $\cos(\theta) = 0$ ................................................................................................ 2 pontos Concluir que $\theta = \frac{\pi}{2}$ ......................................................................................... 3 pontos Interpretar o valor obtido, no contexto da situação apresentada (ver nota) ........... 3 pontos Nota – Apresenta-se, a seguir, um exemplo de uma interpretação correcta: «Se o depósito tem 3 metros de altura de combustível, o ângulo $\theta$ tem amplitude igual a $\frac{\pi}{2}$ radianos».