Matemática B 11.º Ano (2011, 2.ª Fase): Função Racional e Concentração Poluente

Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efectuadas descargas de resíduos poluentes.
Uma associação ambientalista detectou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.
No início do ano de 1995, começaram a ser implementadas diversas medidas para diminuir a concentração da substância poluente e, assim, melhorar a qualidade da água desse lago.
Admita que a concentração da substância poluente, C, em miligramas por metro cúbico de água, t anos após o início do ano de 1995, é dada por C(t) = 600 / (0,16t² - 0,8t + 6) para t ≥ 0.
Determine o ano em que a concentração da substância poluente existente na água do lago ficou reduzida a metade do seu valor inicial.

Obter $C(0)$ (100) (3 pontos) Determinar $\frac{C(0)}{2}$ (50) (2 pontos) Escrever a equação $C(t) = 50$ (ou equivalente) (1 ponto) Resolver a equação anterior (11 pontos) Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Representar graficamente a função $C$ (6 pontos) Respeitar a curva do gráfico da função (3) Respeitar o domínio (ver nota 1) (3) Representar graficamente a recta de equação $y = 50$ (2 pontos) Indicar um valor aproximado da abcissa do ponto de intersecção da recta de equação $y = 50$ com o gráfico da função $C$ (9,114...) (ver nota 2) (3 pontos) 2.º Processo Escrever $\frac{600}{0,16 t^2 - 0,8 t + 6} - 50 = 0$ (ou equivalente) (1 ponto) Obter $\frac{-8t^2 + 40t + 300}{0,16t^2 - 0,8t + 6} = 0$ (2 pontos) Referir que $0,16t^2 - 0,8t + 6 \neq 0$ para qualquer valor de $t$ (1 ponto) Escrever $-8t^2 + 40t + 300 = 0$ (2 pontos) Obter $t = -4,114... \vee t = 9,114...$ (2 pontos) Concluir que $t = 9,114...$ (3 pontos) Apresentar a resposta (2004) (3 pontos) Notas: 1. Se o examinando apresentar apenas parte do gráfico da função num intervalo, contido no domínio, relevante para a resolução do problema, a pontuação a atribuir a este passo não deverá ser desvalorizada. 2. Se o examinando assinalar apenas o ponto de intersecção dos dois gráficos, a pontuação a atribuir a este passo deverá ser desvalorizada em 2 pontos.