Limites e Assíntotas: Evolução Populacional de Trutas (Matemática B 11º Ano, 2011)

Numa determinada região, existe um lago natural onde foram efectuadas descargas de resíduos poluentes.
Uma associação ambientalista detectou que a concentração, na água desse lago, de uma determinada substância poluente era muito elevada, o que punha em risco a sobrevivência de algumas espécies aí existentes, entre as quais a truta.
O número de trutas existentes no lago diminuiu acentuadamente em consequência das descargas de resíduos poluentes.
Alguns anos depois de as descargas terem ocorrido, procedeu-se ao repovoamento do lago com exemplares desta espécie.
Admita que o número de trutas existentes no lago, N, em milhares, x semanas após o início do repovoamento, é dado, aproximadamente, por N(x) = (20x + 2) / (x + 2) para x ≥ 0.
O número de trutas existentes no lago, imediatamente antes de ocorrerem as descargas de resíduos poluentes, foi estimado em 22 000.
Averigúe se, de acordo com o modelo apresentado, o número de trutas no lago poderá vir a atingir o valor que foi estimado para a população de trutas existentes no lago imediatamente antes de ocorrerem as referidas descargas.
Justifique a sua resposta, usando propriedades da função N.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Referir que o gráfico da função $N$ tem uma assimptota horizontal (1 ponto) Escrever a equação da assimptota horizontal do gráfico da função $N$ ($y = 20$) (4 pontos) Referir que a função $N$ é crescente (3 pontos) Concluir que $N(x) < 20$ (3 pontos) Relacionar o valor 20 com o número de trutas (20000 trutas) (2 pontos) Concluir que o número de trutas nunca será igual a 22000 (2 pontos) 2.º Processo Referir que 22 000 corresponde a 22 milhares (2 pontos) Escrever a condição $N(x) = 22$ (ver nota) (3 pontos) Resolver a condição $N(x) = 22$ (ver nota) (8 pontos) Obter $\frac{-2x - 42}{x + 2} = 0$ (4 pontos) Referir que $x + 2 \neq 0$ (1 ponto) Determinar $x$ ($-21$) (3 pontos) Concluir que o número de trutas nunca será igual a 22 000 (2 pontos) Nota – O examinando pode, em alternativa, utilizar a inequação $N(x) < 22$ e concluir que o conjunto solução é o intervalo $[0, +\infty[$. Nesse caso, deverá ser atribuída a totalidade da pontuação prevista para a etapa.