Probabilidade Condicionada: Exame Matemática 11.º Ano 2013

Com o objetivo de rentabilizar as suas poupanças, a Carla pesquisou na Internet instituições financeiras da localidade de Bicas.
A instituição financeira PAGABEM vende aplicações no fundo GANHAR+ com um grau de incerteza na obtenção de rendimento.
Admita que, em cada dia, o número N de aplicações feitas no fundo GANHAR+, em função do período de capitalização x, em meses, é bem aproximado pelo modelo seguinte, com arredondamento às unidades.
N(x) = 30 / (1 + 16 × e^−1,15x), (x = 1, 2, .
.
.
).
No dia 3 de setembro de 2012, no fundo GANHAR+ existiam apenas duas possibilidades para o período de capitalização, 3 meses ou 6 meses, tendo sido feitas 50 aplicações nesse dia.
Sabe-se que:

• a probabilidade de obter rendimento é 76% quando a aplicação no fundo GANHAR+ é feita por um período de capitalização igual a 3 meses;
• a probabilidade de obter rendimento é 92% quando a aplicação no fundo GANHAR+ é feita por um período de capitalização igual a 6 meses.
Escolheu-se, ao acaso, uma aplicação no fundo GANHAR+ no dia 3 de setembro de 2012.
Determine a probabilidade de a aplicação escolhida ter um período de capitalização igual a 3 meses, sabendo que obteve rendimento.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

Considerem-se os seguintes acontecimentos: A: «a aplicação no fundo GANHAR+ ser feita por um período de capitalização igual a 3 meses»; $\bar{A}$: «a aplicação no fundo GANHAR+ ser feita por um período de capitalização igual a 6 meses»; B: «obter rendimento». Calcular P(A) 7 pontos Identificar x = 3 2 pontos Obter N(3) 2 pontos Obter $P(A)$ $\left(\frac{2}{5}\right)$ 3 pontos Calcular $P(\bar{A})$ 2 pontos Escrever $P(\bar{A}) = 1 – P(A)$ (ver nota 1) 1 ponto Obter $P(\bar{A})$ $\left(\frac{3}{5}\right)$ 1 ponto Escrever P(B|A) = 0,76 2 pontos Escrever $P(B|\bar{A}) = 0,92$ 2 pontos Calcular $P(A | B)$ 7 pontos Calcular $P(A\cap B)$ 2 pontos Escrever $P(A \cap B) = P(B|A) \times P(A)$ (ver nota 2) 1 ponto Obter $P(A\cap B)$ $\left(\frac{38}{125}\right)$ 1 ponto Calcular P(B) 4 pontos Escrever $P(\bar{A}\cap B) = P(B|\bar{A}) \times P(\bar{A})$ (ver nota 3) 1 ponto Obter $P(\bar{A}\cap B)$ $\left(\frac{69}{125}\right)$ 1 ponto Escrever $P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A}\cap B)$ (ver nota 4)... 1 ponto Obter $P(B)$ $\left(\frac{107}{125}\right)$ 1 ponto Obter $P(A|B)$ $\left(\frac{38}{107}\right)$ 1 ponto Notas: 1. Se o examinando não apresentar a expressão mas determinar $P(\bar{A})$, a pontuação a atribuir neste passo não deve ser desvalorizada. 2. Se o examinando não apresentar a expressão mas determinar $P(A\cap B)$, a pontuação a atribuir neste passo não deve ser desvalorizada. 3. Se o examinando não apresentar a expressão mas determinar $P(\bar{A}\cap B)$, a pontuação a atribuir neste passo não deve ser desvalorizada. 4. Se o examinando não apresentar a expressão mas determinar $P(B)$, a pontuação a atribuir neste passo não deve ser desvalorizada.