Números Complexos: Divisão e Potenciação - Exame Matemática A 12º Ano 2013

Em C, conjunto dos números complexos, considere z₁ = √2 + 2 cis (3π/4) e z₂ = 1 + i
Sabe-se que z₁/z₂ é uma raiz quarta de um certo número complexo w.
Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Escrever $2cis \frac{3\pi}{4}$ na forma algébrica ..................................................................... 2 pontos Obter $z_1$ na forma algébrica ............................................................................................ 1 ponto Calcular $\frac{z_1}{z_2}$ na forma algébrica ...................................................................................... 3 pontos Indicar a multiplicação de ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador ................................................................................. 1 ponto Efetuar a multiplicação do numerador .................................................................. 1 ponto Efetuar a multiplicação do denominador ............................................................... 1 ponto Referir que $w = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^4$ ............................................................................................ 3 pontos Determinar $w$ .................................................................................................................... 5 pontos Escrever $\frac{z_1}{z_2}$ na forma trigonométrica .................................................................. 3 pontos Obter $\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^4$ na forma trigonométrica .................................................................... 2 pontos Obter $w$ na forma algébrica ................................................................................. 1 ponto 2.º Processo Escrever $2cis \frac{3\pi}{4}$ na forma algébrica ..................................................................... 2 pontos Obter $z_1$ na forma algébrica ............................................................................................ 1 ponto Calcular $\frac{z_1}{z_2}$ na forma trigonométrica ................................................................................ 6 pontos Escrever $z_1$ na forma trigonométrica .................................................................. 2 pontos Escrever $z_2$ na forma trigonométrica .................................................................. 2 pontos Efetuar a divisão na forma trigonométrica ........................................................... 2 pontos Referir que $w = \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^4$ ............................................................................................ 3 pontos Obter $w$ na forma trigonométrica .................................................................................... 2 pontos Obter $w$ na forma algébrica ............................................................................................ 1 ponto