Análise de Assíntotas Verticais: Limites de Funções (Matemática A 12º Ano 2013)

Considere a função f, de domínio R{0}, definida por

(eˣ - 1)/(e⁴ˣ - 1)	se x < 0
x ln (x)	se x > 0

Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico.

Determinar $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ ................................................................................................ 7 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x-1}{e^{4x}-1}$ ........................................................................ 1 ponto Levantar a indeterminação ........................................................................................ 6 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^x-1}{e^{4x}-1} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^{4x}-1}{x}}$ ................................................... 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x-1}{x}}{\frac{e^{4x}-1}{x}} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x-1}{x}}{4\frac{(e^{4x}-1)}{4x}}$ .......................................... 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{e^x-1}{x}}{4\frac{(e^{4x}-1)}{4x}} = \lim_{y \to 0^-} \frac{\frac{e^x-1}{x}}{4\frac{(e^y-1)}{y}}$ (ou equivalente) (ver nota 1) ................................................................. 2 pontos Referir o limite notável $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ ........................................................... 1 ponto Obter o valor de $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ .......................................................................................... 1 ponto Determinar $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ ................................................................................................ 7 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x)$ .................................................................... 1 ponto Levantar a indeterminação ........................................................................................ 6 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^+} (x \ln x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$ ................................................................ 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} = \lim_{y \to +\infty} \frac{\ln (\frac{1}{y})}{y}$ (ou equivalente) (ver nota 2) ................................................................. 2 pontos Escrever $\lim_{y \to +\infty} \frac{\ln (\frac{1}{y})}{y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{-\ln y}{y}$ ..................................................... 1 ponto Referir o limite notável $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ ........................................................... 1 ponto Obter o valor de $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ .......................................................................................... 1 ponto Concluir que o gráfico de $f$ não admite outras assíntotas verticais por $f$ ser contínua em $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ................................................................................................... 1 ponto Notas: 1. Se o examinando referir que $x \to 0^-$ é equivalente a $4x \to 0^-$, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 2. Se o examinando referir que $x \to 0^+$ é equivalente a $\frac{1}{x} \to +\infty$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.