Estudo de Monotonia e Extremos de Função (Matemática A 12º Ano 2013)

Considere a função f, de domínio R{0}, definida por

(eˣ - 1)/(e⁴ˣ - 1)	se x < 0
x ln (x)	se x > 0

Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Seja g a função, de domínio R⁺, definida por g(x) = f(x) - x + ln²x.
Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em ]0, e].

Determinar $g'(x)$ em $]0, +\infty[$ ..................................................................................... 6 pontos Determinar $(x \ln x)'$ .............................................................................................. 2 pontos Determinar $x'$ ......................................................................................................... 1 ponto Determinar $(\ln^2 x)'$ ................................................................................................ 2 pontos Obter $g'(x)$ ............................................................................................................... 1 ponto Determinar o zero de $g'(x)$ em $]0, e]$ ........................................................................... 2 pontos Estudar a função $g$ quanto à monotonia em $]0, e]$ ..................................................... 4 pontos Concluir que $g'$ é negativa em $]0, 1[$ ................................................................. 1 ponto Concluir que $g'$ é positiva em $]1, e]$ .................................................................... 1 ponto Concluir que $g$ é decrescente em $]0, 1]$ (ver nota 1) ........................................ 1 ponto Concluir que $g$ é crescente em $[1, e]$ (ver nota 2) ............................................ 1 ponto Concluir que a função $g$ tem um mínimo em $]0, e]$ ........................................................ 1 ponto Concluir que a função $g$ tem um máximo relativo em $]0, e]$ ......................................... 2 pontos Notas: 1. Se o examinando referir que $f$ é decrescente em $]0, 1[$, em vez de $]0, 1]$, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 2. Se o examinando referir que $f$ é decrescente em $]1, e]$, em vez de $[1, e]$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.