Análise Gráfica e Cálculo de Área em Funções - Matemática A 12º Ano 2013

Considere a função f, de domínio R{0}, definida por

(eˣ - 1)/(e⁴ˣ - 1)	se x < 0
x ln (x)	se x > 0

Resolva os itens 4.
1.
e 4.
2.
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Resolva o item 4.
3.
, recorrendo à calculadora gráfica.

Considere, num referencial o.
n.
xOy, a representação gráfica da função g, de domínio R⁺, definida por g(x)=f(x) - x + ln²x.
Sabe-se que:

• A é o ponto de coordenadas (2, 0)
• B é o ponto de coordenadas (5, 0)
• P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g.
Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP].
Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1.
Na sua resposta, deve:

• equacionar o problema;
• reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
• indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas.

Equacionar o problema .................................................................................................... 7 pontos Determinar a altura do triângulo $[ABP]$ referente a $[AB]$ ....................................... 3 pontos Escrever $|g(x)| = \frac{2}{3}$ (ou equivalente) (ver nota 1) .................................................. 4 pontos Reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções visualizados na calculadora (ver notas 2 e 3) ........................................................................................... 4 pontos Obter as abcissas dos pontos $P$ ..................................................................................... 4 pontos Indicar as abcissas dos pontos com ordenada positiva ... $(1 + 1)$.. 2 pontos Indicar as abcissas dos pontos com ordenada negativa ... $(1 + 1)$.. 2 pontos Notas: 1. Se o examinando escrever $g(x) = \pm \frac{2}{3}$, a pontuação a atribuir nesta etapa é 2 pontos. 2. Se o examinando não apresentar o referencial, a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 1 ponto. 3. Se o examinando apresentar um gráfico que não respeite o domínio da função, a pontuação a atribuir nesta etapa deve ser desvalorizada em 1 ponto.