Continuidade de Função Definida por Ramos - Matemática A 12.º Ano 2013

Considere a função f, de domínio R, definida por f(x) = { x e^(3+x) + 2x, se x ≤ 1; (1 - √x + sen(x - 1))/(1-x), se x > 1 }.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Averigue se a função f é contínua em x = 1

Referir que f é contínua em x = 1 sse lim (x→1⁻) f(x) = f(1) (1 ponto) Calcular lim (x→1⁻) f(x) OU calcular f(1) (2 pontos) Calcular lim (x→1⁺) f(x) (11 pontos) Escrever lim (x→1⁺) f(x) = lim (x→1⁺) (1 - √x + sen(x - 1))/(1-x) (1 ponto) Levantar a indeterminação (10 pontos) Escrever lim (x→1⁺) (1 - √x)/(1 - x) = lim (x→1⁺) ((1 - √x)(1 + √x))/((1 - x)(1 + √x)) (1 ponto) Escrever lim (x→1⁺) (1 - x)/((1 - x)(1 + √x)) = lim (x→1⁺) 1/(1 + √x) (2 pontos) Obter o valor de lim (x→1⁺) (1 - √x)/(1 - x) (1 ponto) Escrever lim (x→1⁺) sen(x - 1)/(1 - x) = lim (x→1⁺) sen(x - 1)/(-(x - 1)) (1 ponto) Escrever lim (x-1→0⁺) sen(x - 1)/(-(x - 1)) = lim (y→0⁺) sen y/-y (ver nota) (2 pontos) Referir o limite notável lim (x→0) sen x/x = 1 (1 ponto) Obter o valor de lim (x→1⁺) sen(x - 1)/(1 - x) (1 ponto) Obter o valor de lim (x→1⁺) f(x) (1 ponto) Concluir que ƒ não é contínua em x = 1 porque lim (x→1⁺) f(x) ≠ lim (x→1⁻) f(x) OU porque lim (x→1⁺) f(x)≠f(1) (1 ponto) Nota – Se o examinando escrever x → 1⁺ em vez de x−1 → 0⁺, esta etapa deve ser considerada como cumprida.