Assíntota Oblíqua em Limites (Matemática A 12º Ano 2013 2ª Fase)

Considere a função f, de domínio R, definida por f(x) = { x e^(3+x) + 2x, se x ≤ 1; (1 - √x + sen(x - 1))/(1-x), se x > 1 }.
Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Mostre que o gráfico da função f admite uma assíntota oblíqua quando x tende para −∞

Determinar lim (x→-∞) f(x)/x (3 pontos) Escrever lim (x→-∞) f(x)/x = lim (x→-∞) (x e³⁺ˣ + 2x)/x (1 ponto) Obter o valor de m = lim (x→-∞) f(x)/x (2 pontos) Determinar lim (x→-∞) (f(x) - mx) (10 pontos) Escrever lim (x→-∞) (f(x) - mx) = lim (x→-∞) (x e³⁺ˣ) (1 ponto) Levantar a indeterminação (7 pontos) Escrever lim (x→-∞) (x e³⁺ˣ) = lim (y→+∞) (-y e³⁻ʸ) (ver nota) (3 pontos) Escrever lim (y→+∞) (-y e³⁻ʸ) = lim (y→+∞) (-e³)/(eʸ/y) (3 pontos) Referir o limite notável lim (x→+∞) eˣ/xᴾ = +∞ (1 ponto) Obter o valor de b = lim (x→-∞) (f(x) – mx) (2 pontos) Concluir o pretendido (2 pontos) Nota – Se o examinando escrever x → -∞ em vez de -x → +∞, esta etapa deve ser considerada como cumprida.