Análise de Concavidades e Inflexão (Matemática A 12º Ano, Exame 2013)

Seja g uma função, de domínio R+, cuja derivada, g', de domínio R+, é dada por g'(x) = ln (e^x + 6e⁻ˣ + 4x).
Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Determinar g''(x) (4 pontos) Escrever (ln (eˣ + 6e⁻ˣ + 4x))' = (eˣ + 6e⁻ˣ + 4x)' / (eˣ + 6e⁻ˣ + 4x) (ou equivalente) (1 ponto) Obter g''(x). (3 pontos) Resolver a equação g''(x) = 0 (5 pontos) Obter (eˣ)² + 4eˣ − 6 = 0 (2 pontos) Reconhecer que eˣ = −2−√10 é impossível em R⁺ (1 ponto) Concluir que eˣ = −2 + √10 (1 ponto) Obter x = ln(−2 + √10) (1 ponto) Estudar a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico (5 pontos) Referir que eˣ + 6e⁻ˣ + 4x > 0 se x∈R⁺ (1 ponto) Concluir que g'' é negativa em ]0, ln(−2 + √10)[ (1 ponto) Concluir que g'' é positiva em ]ln(−2 + √10), +∞[ (1 ponto) Concluir que o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo em ]0, ln(−2 + √10)[ (1 ponto) Concluir que o gráfico de g tem concavidade voltada para cima em ]ln(−2 + √10), +∞[ (1 ponto) Concluir que o gráfico de g tem um ponto de inflexão (1 ponto)