Exame Matemática A 12º Ano 2013 (2ª Fase): Perímetro Triângulo e Função Trigonométrica

Na Figura 4, estão representados, num referencial o.
n.
xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.
Sabe-se que:

• a reta r é definida por x = −3;
• o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva;
• o ponto B é o simétrico do ponto A em relação ao eixo Ox;
• α é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OA;
• α ∈ ]π/2, π[;
• a função P, de domínio ]π/2, π[, é definida por P(x) = −6 tg x − 6/cos x.
Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de α, por P(α)

Referir que o perímetro do triângulo [OAB] é igual a AB + OB + OA (ou equivalente) (1 ponto) Referir que OA = OB (1 ponto) Referir que a amplitude do ângulo AOA₁ é π−α, sendo A₁ a projeção ortogonal de A sobre o eixo Ox (2 pontos) Escrever cos (π−α) = -3/OA (2 pontos) Obter OA = -3/cos α (ou equivalente) (2 pontos) Escrever tg(π− α) = A A₁/3 (2 pontos) Obter A A₁ = −3 tg α (ou equivalente) (2 pontos) Referir que AB = 2 A A₁ (1 ponto) Concluir o pretendido (2 pontos)