Números Complexos: Potências e Forma Trigonométrica (Matemática A 12º Ano 2013)

Seja C o conjunto dos números complexos.
Considere z₁ = (1+√3 i)/2 + i²² e z₂ = -2 / (i z₁).
Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que (z₂)^n é um número real negativo.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Determinar z₁ na forma algébrica: Escrever i²² = −1 (1 ponto) Obter z₁ na forma algébrica (1 ponto) Determinar i z₁ na forma trigonométrica (4 pontos): Indicar o módulo de z₁ (1 ponto) Indicar um argumento de z₁ (1 ponto) Escrever i na forma trigonométrica (1 ponto) Obter i z₁ na forma trigonométrica (1 ponto) Calcular z₂ na forma trigonométrica (3 pontos): Escrever −2 = 2cisπ (1 ponto) Efetuar a divisão na forma trigonométrica (2 pontos) Referir que (z₂)^n é um número real negativo sse arg((z₂)^n) = π + 2kπ com k∈ Z (ver nota) (3 pontos) Obter n = −6 + 12k com k∈Z (1 ponto) Obter o valor de n (2 pontos) 2.º Processo Determinar z₁ na forma algébrica (2 pontos): Escrever i²² = −1 (1 ponto) Obter z₁ na forma algébrica (1 ponto) Determinar i z₁ na forma algébrica (2 pontos) Calcular z₂ na forma algébrica (3 pontos): Indicar a multiplicação de ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador (1 ponto) Efetuar a multiplicação do numerador (1 ponto) Efetuar a multiplicação do denominador (1 ponto) Escrever z₂ na forma trigonométrica (2 pontos): Indicar um argumento de z₂ (1 ponto) Indicar o módulo de z₂ (1 ponto) Referir que (z₂)^n é um número real negativo sse arg((z₂)^n) = π + 2kπ com k∈ Z (ver nota) (3 pontos) Obter n = −6 + 12k com k∈Z (1 ponto) Obter o valor de n (2 pontos) Nota – Se o examinando escrever uma condição considerando que (z₂)^n é um número real OU escrever uma condição considerando que (z₂)^n é um número real positivo, a pontuação a atribuir nesta etapa é 2 pontos.