Números Complexos: Exame Matemática A 12º Ano 2013 (2ª Fase)

Seja C o conjunto dos números complexos.
Seja α∈[−π, π[ .
Mostre que (cos (π−α) + i cos(π/2 −α)) / (cos α + i sen α) = cis(π− 2α)

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Escrever cos (π− α) = − cos α (1 ponto) Escrever cos(π/2 − α) = sen α (1 ponto) Indicar a multiplicação de ambos os termos da fração pelo conjugado do denominador (2 pontos) Efetuar a multiplicação do numerador (2 pontos) Efetuar a multiplicação do denominador (2 pontos) Escrever cos²α + sen²α = 1 (1 ponto) Escrever cos²α – sen² α = cos (2α) (1 ponto) Escrever 2sen α cos α = sen(2α) (1 ponto) Obter (− cos (2α) + i sen(2α)) (1 ponto) Escrever cis(π – 2α) = − cos (2α) + i sen(2α) (2 pontos) Concluir o pretendido (1 ponto) 2.º Processo Escrever cos (π− α) = − cos α (1 ponto) Escrever cos(π/2 − α) = sen α (1 ponto) Escrever cos α + i sen α = cis α (1 ponto) Escrever cos α + i sen α = cis (π−2α) × cis α (4 pontos) Escrever cis(π – 2α) × cis α = cis (π− α) (4 pontos) Escrever cis(π− α) = cos (π− α) + i sen(π− α) (2 pontos) Escrever sen(π− α) = sen α (1 ponto) Concluir o pretendido (1 ponto)