Matemática B 11.º Ano (2014): Progressões Aritméticas em Geometria Circular

Para criar o logotipo de um aldeamento turístico, foi considerada uma sequência de circunferências concêntricas, em que o círculo central é branco e, a partir dele, as regiões exteriores a cada uma das circunferências e interiores à circunferência seguinte são, alternadamente, pretas e brancas, sendo a última preta, tal como sugere a Figura 3.
O logotipo foi pintado num dos muros do aldeamento e, tal como a Figura 4 ilustra, consiste num quadrado com duas dessas sequências de circunferências concêntricas, uma das quais dividida em duas partes geometricamente iguais.
De acordo com o esquema representado na Figura 5, verifica-se que o conjunto I, o conjunto II e o conjunto III são tangentes entre si e cada um deles é tangente a dois lados do quadrado que os circunscreve.
No logotipo pintado no muro do aldeamento:

• o conjunto I tem 20 circunferências concêntricas, que passarão a ser designadas, da menor para a maior:
circunferência um, circunferência dois, .
.
.
, circunferência vinte;
• os raios dessas circunferências estão em progressão aritmética de razão 5 cm;
• o círculo central do conjunto I, limitado pela circunferência um, tem 25π cm² de área.
Mostre que Aƒ é termo geral de uma progressão aritmética de razão 50π.

Obter $A_{n+1}-A_n$ Escrever $(50\pi(n + 1) – 25\pi)−(50\pi n – 25\pi)$ (ou equivalente) 2 pontos Desembaraçar a expressão anterior de parênteses 3 pontos Concluir que a expressão anterior é igual a $50 \pi$ 2 pontos 2.º Processo (Alternativo de 10 pontos): Reconhecer que $A_1$ é o primeiro termo de uma progressão aritmética 2 pontos Indicar o valor de $A_1$ ($25 \pi$) 1 ponto Escrever $25\pi+(n-1) \times 50\pi$ (ou equivalente) 4 pontos Obter $50\pi n – 25 \pi$ 3 pontos