Matemática B 11.º Ano (2014, 1.ª Fase): Logotipo, Circunferências e Progressões Aritméticas

Para criar o logotipo de um aldeamento turístico, foi considerada uma sequência de circunferências concêntricas, em que o círculo central é branco e, a partir dele, as regiões exteriores a cada uma das circunferências e interiores à circunferência seguinte são, alternadamente, pretas e brancas, sendo a última preta, tal como sugere a Figura 3.
O logotipo foi pintado num dos muros do aldeamento e, tal como a Figura 4 ilustra, consiste num quadrado com duas dessas sequências de circunferências concêntricas, uma das quais dividida em duas partes geometricamente iguais.
De acordo com o esquema representado na Figura 5, verifica-se que o conjunto I, o conjunto II e o conjunto III são tangentes entre si e cada um deles é tangente a dois lados do quadrado que os circunscreve.
No logotipo pintado no muro do aldeamento:

• o conjunto I tem 20 circunferências concêntricas, que passarão a ser designadas, da menor para a maior:
circunferência um, circunferência dois, .
.
.
, circunferência vinte;
• os raios dessas circunferências estão em progressão aritmética de razão 5 cm;
• o círculo central do conjunto I, limitado pela circunferência um, tem 25π cm² de área.
Na pintura do logotipo do muro do aldeamento, foram usadas tinta branca e tinta preta, com igual rendimento.
Admita que, para pintar o círculo central do conjunto I, se gastou 1 centilitro de tinta branca.
Determine a quantidade total de tinta preta gasta na pintura dos conjuntos I, II e III do logotipo, admitindo que a quantidade de tinta gasta na pintura de uma região é diretamente proporcional à área dessa região.
Apresente o resultado em litros, arredondado às décimas.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

Apresentar o valor pedido (4,2 l)