Programação Linear: Maximização de Lucro em Investimento (Matemática B - Exame 2015)

Recentemente, o Dinis decidiu investir parte das suas poupanças em dois produtos financeiros:
o X-fin e o Y-fin.
O Dinis espera vir a ter um lucro anual de 30 euros por cada milhar de euros investido no produto X-fin e um lucro anual de 50 euros por cada milhar de euros investido no produto Y-fin.
Tendo em conta as suas poupanças, o Dinis impôs os seguintes limites de investimento anual:
poderá investir até 4000 euros no produto X-fin e poderá investir até 6000 euros no produto Y-fin.
O Dinis tem o seguinte sistema de pontuação anual de risco de investimento:

• atribuir 3 pontos de risco de investimento por cada milhar de euros investido no produto X-fin;
• atribuir 2 pontos de risco de investimento por cada milhar de euros investido no produto Y-fin;
• não ultrapassar 18 pontos de risco de investimento, no total.
Determine o número, x, de milhares de euros que o Dinis deve investir no produto X-fin e o número, y, de milhares de euros que o Dinis deve investir no produto Y-fin, de modo a maximizar o lucro anual.
Na sua resposta, apresente:
– a função objetivo; – as restrições do problema; – uma representação gráfica da região admissível referente ao sistema de restrições; – o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.

Identificar a função objetivo ($L = 30x + 50y$) (1 ponto); Identificar as restrições (ver nota 1) (11 pontos): $x \leq 4$ (ver notas 2, 3 e 4) (3 pontos); $y \leq 6$ (ver notas 2, 3 e 4) (3 pontos); $3x + 2y \leq 18$ (ver notas 2 e 3) (3 pontos); $x \geq 0$ (1 ponto); $y \geq 0$ (1 ponto). Representar graficamente a região admissível (ver nota 4) (7 pontos): Representar graficamente a reta de equação $x = 4$ (1 ponto); Representar graficamente a reta de equação $y = 6$ (1 ponto); Representar graficamente a reta de equação $3x + 2y = 18$ (2 pontos); Assinalar o polígono (3 pontos). Calcular o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema (ver nota 4) (11 pontos): Obter as coordenadas dos vértices do polígono que não pertencem aos eixos coordenados $((4, 3) \text{ e } (2, 6))$ $(2+2)$ (4 pontos); Obter as coordenadas dos vértices do polígono que pertencem aos eixos coordenados, com exceção da origem $((4, 0) \text{ e } (0, 6))$ $(1+1)$ (2 pontos); Calcular o valor da função objetivo em cada um dos vértices do polígono da região admissível (ou aplicar o método da paralela à reta de nível zero) (ver notas 5 e 6) (4 pontos); Identificar os valores pedidos (2 milhares de euros a investir no produto X-fin e 6 milhares de euros a investir no produto Y-fin) (1 ponto).