No dia em que fez dezasseis anos, o Dinis decidiu iniciar uma poupança.
Pensou em duas hipóteses diferentes de a fazer:
• colocar 2 euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, colocar no mealheiro mais 1 euro do que a quantia colocada no mês anterior;
• colocar 15 euros num mealheiro vazio e, todos os meses, a partir desse dia, voltar a colocar 15 euros no mealheiro.
O objetivo do Dinis era juntar, pelo menos, 500 euros.
Qual das duas hipóteses permite concretizar este objetivo mais rapidamente? Justifique a sua resposta.
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo: Reconhecer que, relativamente à primeira hipótese, as quantias colocadas mensalmente no mealheiro são termos consecutivos de uma progressão aritmética, em que o primeiro termo é 2 e a razão é 1 (1 ponto); Escrever o termo geral dessa progressão ($n+1$ ou equivalente) (1 ponto); Reconhecer que, passados $n-1$ meses desde o dia inicial da poupança, a quantia existente no mealheiro corresponde à soma de $n$ termos consecutivos dessa progressão (1 ponto); Escrever uma expressão da soma de $n$ termos consecutivos dessa progressão $\left( \frac{2+n+1}{2} \times n \text{ ou equivalente} \right)$ (1 ponto); Escrever $\frac{2+n+1}{2} \times n \geq 500$ (ou equivalente) (1 ponto); Resolver a condição anterior (3 pontos); Reconhecer que, relativamente à segunda hipótese, passados $n-1$ meses desde o dia inicial da poupança, a quantia existente no mealheiro é termo de uma progressão aritmética, em que o primeiro termo é 15 e a razão é 15 (2 pontos); Escrever o termo geral dessa progressão ($15n$ ou equivalente) (1 ponto); Escrever $15n \geq 500$ (ou equivalente) (1 ponto); Resolver a condição anterior (1 ponto); Concluir que a primeira hipótese é a que permite concretizar o objetivo mais rapidamente (2 pontos). 2.º Processo: Calcular, relativamente à primeira hipótese, a quantia existente no mealheiro em cada mês até perfazer uma quantia igual ou superior a 500 euros... (5 pontos); Obter o número mínimo necessário de meses para perfazer aquela quantia (3 pontos); Calcular, relativamente à segunda hipótese, a quantia existente no mealheiro em cada mês, até perfazer uma quantia igual ou superior a 500 euros (3 pontos); Obter o número mínimo necessário de meses para perfazer aquela quantia (2 pontos); Concluir que a primeira hipótese é a que permite concretizar o objetivo mais rapidamente (2 pontos). 3.º Processo: Calcular, relativamente à segunda hipótese, $500 \div 15$ (33,3...) (5 pontos); Obter, relativamente à primeira hipótese, a quantia existente no mealheiro após o 33.º depósito (ou após o 32.°, ou após o 31.°) (8 pontos); Concluir que a primeira hipótese é a que permite concretizar o objetivo mais rapidamente (2 pontos).