Matemática B 11º Ano: Cálculo do Tempo em Modelo Exponencial de Peso (2015)

A Laura nasceu no dia 1 de junho de 1998.
Admita que, entre os 2 e os 20 anos de idade, o peso da Laura, P, em quilogramas, é dado, em função do tempo, t, aproximadamente, por P(t) = 70 / (1 + 8,5 e^{-0,22t}) para 2 ≤ t ≤ 20.
A variável t representa o tempo decorrido, em anos, após o dia 1 de junho de 1998.
Por exemplo, P(2) é, aproximadamente, o peso da Laura, em quilogramas, no dia 1 de junho de 2000.
O crescimento de uma criança ou de um adolescente é um importante indicador do seu desenvolvimento, pelo que parâmetros como a altura e o peso* são periodicamente monitorizados.
* A palavra 'peso' é utilizada na sua aceção corrente como sinónimo de massa.
Determine, de acordo com o modelo apresentado, durante quanto tempo o peso da Laura esteve compreendido entre 30 e 40 quilogramas, inclusive.
Apresente o resultado em anos e meses, com o número de meses arredondado às unidades.
Em cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo: Reconhecer que o problema se pode traduzir pela condição $30 \leq P(t) \leq 40$ (ou equivalente) (1 ponto); Representar graficamente a função $P$ (2 pontos: Respeitar a forma do gráfico (1 ponto); Respeitar o domínio (1 ponto)); Representar graficamente a reta de equação $y = 30$ (1 ponto); Assinalar o ponto de intersecção da reta de equação $y = 30$ com o gráfico de $P$ (1 ponto); Obter a abcissa desse ponto de intersecção (8,41992...) (2 pontos); Representar graficamente a reta de equação $y = 40$ (1 ponto); Assinalar o ponto de intersecção da reta de equação $y = 40$ com o gráfico de $P$ (1 ponto); Obter a abcissa desse ponto de intersecção (11,03521...) (2 pontos); Calcular a diferença entre as abcissas dos dois pontos de intersecção (2,61529...) (1 ponto); Converter o valor obtido em anos e meses (2 pontos); Apresentar o valor pedido (2 anos e 7 meses) (1 ponto). 2.º Processo: Reconhecer que o problema se pode traduzir pela condição $30 \leq P(t) \leq 40$ (ou equivalente) (1 ponto); Resolver a condição $P(t) \geq 30$ (5 pontos: Obter $70 \geq 30 + 255 \times e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\frac{40}{255} \geq e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\text{In}\left( \frac{40}{255} \right) \geq -0,22t$ (2 pontos); Obter $t \geq 8,41992 ...$ (1 ponto)); Resolver a condição $P(t) \leq 40$ (5 pontos: Obter $70 \leq 40 + 340 \times e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\frac{30}{340} \leq e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\text{In}\left( \frac{30}{340} \right) \leq -0,22t$ (2 pontos); Obter $t \leq 11,03521 ...$ (1 ponto)); Calcular a diferença entre 11,03521... e 8,41992... (2,61529...) (1 ponto); Converter o valor obtido em anos e meses (2 pontos); Apresentar o valor pedido (2 anos e 7 meses) (1 ponto). 3.º Processo: Reconhecer que o problema se pode traduzir pela condição $30 \leq P(t) \leq 40$ (ou equivalente) (1 ponto); Resolver a condição $P(t) = 30$ (4 pontos: Obter $70 = 30 + 255 \times e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\frac{40}{255} = e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\text{In}\left( \frac{40}{255} \right) = -0,22t$ (1 ponto); Obter $t = 8,41992 ...$ (1 ponto)); Resolver a condição $P(t) = 40$ (4 pontos: Obter $70 = 40 + 340 \times e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\frac{30}{340} = e^{-0,22t}$ (1 ponto); Obter $\text{In}\left( \frac{30}{340} \right) = -0,22t$ (1 ponto); Obter $t = 11,03521 ...$ (1 ponto)); Referir que a função $P$ é estritamente crescente (ver nota) (2 pontos); Calcular a diferença entre 11,03521... e 8,41992... (2,61529...) (1 ponto); Converter o valor obtido em anos e meses (2 pontos); Apresentar o valor pedido (2 anos e 7 meses) (1 ponto).