Matemática B 11º Ano: Prova da Relação de Áreas em Construção Geométrica (Exame 2015)

Na Figura 3, está representada uma construção geométrica que o professor usou como base para as atividades de revisão.
Nesta construção:

• [OPQR] é um quadrado;
• os pontos A, B, C, D, E, F, G e H pertencem aos lados desse quadrado;
• [OAIH] e [BPCJ] são quadrados geometricamente iguais;
• os pontos L e K pertencem à reta GD, que é paralela à reta OP
• [GLF] e [KDE] são triângulos isósceles geometricamente iguais;
• GL = KD = OA
• AB = CD = OA
• RF = EQ = 1/2 OA .
Na construção representada na Figura 3, fixou-se um referencial ortogonal e monométrico, xOy, com origem no ponto O, como se ilustra na Figura 4.
Os segmentos de reta [OP] e [OR] estão contidos nos semieixos positivos Ox e Oy, respetivamente.
Admita que o ponto P tem coordenadas (3,0)
Mostre que, na construção representada na Figura 3, a área da região sombreada é exatamente igual ao dobro da área da região não sombreada, qualquer que seja o valor de OP.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo: Subdividir o quadrado [OPQR] em nove quadrados geometricamente iguais (3 pontos); Referir que a soma das áreas dos dois triângulos não sombreados é igual à área de um desses nove quadrados (4 pontos); Referir que a área da região não sombreada da figura corresponde à soma das áreas de três dos nove quadrados (3 pontos); Referir que a área da região sombreada da figura corresponde à soma das áreas de seis dos nove quadrados (3 pontos); Concluir o pretendido (2 pontos). 2.º Processo: Escrever, em função de OP, uma expressão da área do quadrado [OPQR] (2 pontos); Escrever, em função de OP, uma expressão da área de um quadrado de lado OA (2 pontos); Escrever, em função de OP, uma expressão da área de um dos triângulos não sombreados (3 pontos); Escrever, em função de OP, uma expressão da área da região não sombreada.. (3 pontos); Reconhecer que a área do quadrado [OPQR] é o triplo da área da região não sombreada (ou obter uma expressão, em função de OP, da área da região sombreada) (3 pontos); Concluir o pretendido (2 pontos).