Matemática B (11º) - Assíntotas e Limite de Função Exponencial (2015)

Admita que a área, A, em centenas de km², da zona agrícola afetada pelo enxame de gafanhotos, x semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dada, aproximadamente, por A(x) = 12 / (1 + 9,5 e⁻⁰⁵ˣ) com x ≥ 0
Com o decorrer do tempo, e de acordo com o modelo apresentado, poderá a área da zona agrícola afetada pelo enxame de gafanhotos atingir 1400 km² ? Justifique a sua resposta.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Referir que a reta de equação $y = 12$ é assíntota horizontal do gráfico de A... 3 pontos Referir que a função A é estritamente crescente (ou referir que é uma função logística) 2 pontos Referir que a área da zona agrícola afetada não ultrapassará 1200 km² (ver nota) 3 pontos Concluir que a área da zona agrícola afetada não poderá atingir 1400 km² 2 pontos Nota – Se for referido «12 km²», em vez de «1200 km²», a pontuação a atribuir a esta etapa deverá ser 2 pontos. 2.º Processo Reconhecer que $e^{-0,5x} > 0$ 2 pontos Referir que $1+9,5 e^{-0,5x} > 1$ 3 pontos Referir que $A(x) < 12$ 3 pontos Concluir que a área da zona agrícola afetada não poderá atingir 1400 km² 2 pontos 3.º Processo Reconhecer que 1400 corresponde a 14 centenas 1 ponto Escrever a equação $A(x) = 14$ 2 pontos Resolver a equação anterior 6 pontos Obter $1+9,5e^{-0,5x} = \frac{12}{14}$ (ou equivalente) 1 ponto Obter $e^{-0,5x} = -\frac{2}{133}$ 3 pontos Reconhecer que a equação é impossível 2 pontos Concluir que a área da zona agrícola afetada não poderá atingir 1400 km² 1 ponto