Semelhança de Cones e Tronco de Cone | Matemática B 11º Ano (Exame 2015)

O reservatório de um parque industrial tem a forma de um tronco de cone, tal como o que se apresenta na Figura 1.
Admita que o reservatório tem 11,2 metros de altura e que as suas superfícies circulares, na base e no topo, têm de raio, respetivamente, 15 metros e 6,6 metros.
Foi construída uma maquete do reservatório com 11,2 cm de altura e com 15 cm de raio da base inferior.
Para construir essa maquete, efetuou-se um corte, num cone de revolução, por um plano paralelo à base, como sugere o esquema da Figura 2, que não está desenhado à escala.
Neste esquema, h representa a altura do cone que se obteve a partir do corte efetuado e cuja base tem 6,6 cm de raio.
(GRUPO II, Pergunta 1)
Mostre que o valor exato de h é 8,8 cm Na sua resposta, poderá ser-lhe útil considerar a semelhança de triângulos.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que os dois cones são semelhantes 1 ponto Reconhecer que a altura do cone de raio 15 é dada por $h +11,2$ 1 ponto Estabelecer a proporção $\frac{h+11,2}{h} = \frac{15}{6,6}$ (ou equivalente) 3 pontos Determinar $h$ 5 pontos Obter $6,6h+ 73,92 = 15 h$ 2 pontos Obter $8,4 h = 73,92$ 2 pontos Concluir que $h = 8,8$ 1 ponto 2.º Processo Reconhecer que os dois cones são semelhantes 1 ponto Calcular a razão de semelhança entre os dois cones 2 pontos Reconhecer que a altura do cone de raio 15 é dada por $h +11,2$ 1 ponto Escrever $h+11,2 = h \times \frac{15}{6,6}$ (ou equivalente) 3 pontos Obter $8,4 h = 73,92$ 2 pontos Concluir que $h = 8,8$ 1 ponto