Programação Linear | Lucro Máximo no Cultivo | Matemática B 11º Ano (2015)

Os terrenos de produção agrícola de uma certa empresa situam-se numa região de Portugal habitualmente fustigada por intempéries.
Devido aos prejuízos sofridos no presente ano agrícola, essa empresa decidiu candidatar-se a um subsídio governamental destinado à produção e a um subsídio europeu destinado à renovação de estruturas para o próximo ano agrícola.
Esses subsídios destinam-se ao cultivo de trigo e de vinha.
A empresa dispõe de uma área de 100 hectares de cultivo e tem a garantia de conseguir vender toda a produção obtida, em cada ano agrícola.
Para que qualquer dos subsídios seja atribuído à empresa, é exigido que:

• pelo menos 20 hectares de cultivo sejam de trigo;
• pelo menos 10 hectares de cultivo sejam de vinha.
O subsídio governamental, no valor total máximo de 150000 euros, é de:

• 2000 euros por cada hectare de cultivo de trigo;
• 1000 euros por cada hectare de cultivo de vinha.
O subsídio europeu, no valor total máximo de 205000 euros, é de:

• 3000 euros por cada hectare de cultivo de trigo;
• 1000 euros por cada hectare de cultivo de vinha.
No caso de receber os dois subsídios aos quais se candidata, prevê-se que a empresa obtenha o lucro anual de 1500 euros por cada hectare de trigo cultivado e o lucro anual de 3000 euros por cada hectare de vinha cultivada.
Determine a área, x, em hectares, que a empresa deve reservar para o cultivo de trigo e a área, y, em hectares, que a empresa deve reservar para o cultivo de vinha, referentes ao próximo ano agrícola, de modo que, caso receba os dois subsídios, a empresa obtenha, nesse ano, o lucro máximo.
Na sua resposta, apresente:
– a função objetivo; – as restrições do problema; – uma representação gráfica da região admissível referente ao sistema de restrições; – o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.
(GRUPO IV, Pergunta 1)

Identificar a função objetivo ($L = 1500x + 3000y$ ou $L = 1,5x + 3y$) 1 ponto Identificar as restrições (ver nota 1) 11 pontos $x+y \le 100$ (ver notas 2 e 3) 3 pontos $2000x + 1000y \le 150000$ (ver notas 2 e 3) 3 pontos $3000x + 1000y \le 205000$ (ver notas 2 e 3) 3 pontos $x \ge 20$ 1 ponto $y \ge 10$ 1 ponto Representar graficamente a região admissível 7 pontos Representar graficamente a reta de equação $x + y = 100$ 1 ponto Representar graficamente a reta de equação $2x + y = 150$ 1 ponto Representar graficamente a reta de equação $3x+y = 205$ 1 ponto Representar graficamente a reta de equação $x = 20$ 1 ponto Representar graficamente a reta de equação $y = 10$ 1 ponto Assinalar o polígono 2 pontos Calcular o valor de $x$ e o valor de $y$ correspondentes à solução do problema 11 pontos Obter as coordenadas dos vértices que pertencem à reta de equação $x = 20$ ou à reta de equação $y = 10$ (1 + 1 + 1) 3 pontos Obter as coordenadas dos vértices que não pertencem às retas paralelas aos eixos coordenados (2 + 2) 4 pontos Calcular o valor da função objetivo em cada um dos vértices da região admissível (ou aplicar o método da paralela à reta de nível zero) (ver notas 4 e 5) 3 pontos Identificar os valores pedidos (20 hectares para o cultivo de trigo e 80 hectares para o cultivo de vinha) 1 ponto Notas: 1. Se, em alguma das condições, for utilizado incorretamente apenas o símbolo «<», em vez do símbolo «\le», ou o símbolo «>», em vez do símbolo «\ge», a pontuação a atribuir a esta etapa deverá ser desvalorizada em 1 ponto, no total. 2. Se, na condição, for utilizado incorretamente apenas o símbolo «=», em vez do símbolo «\le», a pontuação a atribuir a este passo deverá ser desvalorizada em 1 ponto. 3. Se, na condição, for utilizado incorretamente apenas o símbolo «>», em vez do símbolo «\le», a pontuação a atribuir a este passo deverá ser desvalorizada em 2 pontos. 4. Deverão ser atribuídos 1 ponto ao cálculo do valor da função objetivo em cada um dos vértices não contidos nas retas de equação $x = 20$ ou $y = 10$ e 1 ponto ao cálculo dos valores da função objetivo no conjunto dos restantes vértices. 5. No caso de ser aplicado o método da paralela à reta de nível zero e se apenas for representada, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir a este passo deverá ser 2 pontos.