Movimento Oscilatório e Seno: Exame Matemática A 12º Ano 2015 (2ª Fase)

Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola.
A Figura 2 esquematiza esta situação.
Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos.
O ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.
Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por d(t) = 1 + (1/2) sen(πt + π/6) A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (t ∈ [0, +∞[).
Resolva os itens 2.
1.
e 2.
2.
sem recorrer à calculadora.
No instante em que se iniciou a contagem do tempo, o ponto P coincidia com o ponto A Durante os primeiros três segundos do movimento, o ponto P passou pelo ponto A mais do que uma vez.
Determine os instantes, diferentes do inicial, em que tal aconteceu.
Apresente os valores exatos das soluções, em segundos.

2.1. 10 pontos
Determinar d(0) (1 ponto)
Equacionar o problema (d(t) = d(0)) (2 pontos)
Obter a expressão geral das soluções da equação d(t) = d(0) (3 pontos)
Determinar as soluções da equação d(t) = d(0) pertencentes ao intervalo ]0, 3] (3 pontos)
Responder ao problema (2/3 s, 2s e 8/3 s) (1 ponto)