Prova Bolzano: Movimento Oscilatório - Matemática A 12º Ano 2015

Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola.
A Figura 2 esquematiza esta situação.
Nesta figura, os pontos O e A são pontos fixos.
O ponto P representa o centro do cubo e desloca-se sobre a semirreta OA Admita que não existe qualquer resistência ao movimento.
Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por d(t) = 1 + (1/2) sen(πt + π/6) A variável t designa o tempo, medido em segundos, que decorre desde o instante em que foi iniciada a contagem do tempo (t ∈ [0, +∞[).
Resolva os itens 2.
1.
e 2.
2.
sem recorrer à calculadora.
Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a 1,1 metros.

2.2. 15 pontos
Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo
Referir que a função d é contínua em [3,4] (ver notas 1 e 2) (2 pontos)
Calcular d(3) (ver nota 3) (4 pontos)
Calcular d(4) (ver nota 4) (4 pontos)
Escrever d(3)<1,1Concluir o pretendido (1 ponto)
2.º Processo
Referir que d(t)=1,1 é equivalente a d(t)-1,1 = 0 (1 ponto)
Referir que a função f, definida por f(t)= d(t) -1,1, é contínua em [3, 4] (ver notas 1 e 2) (2 pontos)
Calcular f(3) (ver nota 3) (4 pontos)
Calcular f(4) (ver nota 4) (4 pontos)
Referir que f(3) e f(4) têm sinais contrários (ou equivalente) (2 pontos)
Concluir que a função f tem, pelo menos, um zero em ]3, 4[ (1 ponto)
Concluir o pretendido (1 ponto)
Notas:
1. Se apenas for referido que a função é contínua, esta etapa deve ser considerada como cumprida.
2. Se for referido que a função é contínua em ]3, 4[, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.
3. Se não for apresentada a substituição de sen (3π + π/6) por –sen (π/6) ou por -1/2, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.
4. Se não for apresentada a substituição de sen (4π + π/6) por sen (π/6) ou por 1/2, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.