Limites e Assíntotas Horizontais - Matemática A 12º Ano (Exame 2015, 2ª Fase)

Seja f a função, de domínio R, definida por f(x) =

1 + xex	se x ≤ 3
ln(x - 3) - ln(x)	se x > 3

Resolva os itens 3.
1.
, 3.
2.
e 3.
3.
, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Estude a função ƒ quanto à existência de assíntotas horizontais do seu gráfico.

3.1. 15 pontos
Determinar lim f(x) (8 pontos)
Escrever lim f(x)= lim (1+xe^x) (1 ponto)
Escrever lim (1 + xe^x) = 1 + lim (xe^x) (1 ponto)
Escrever 1+ lim (xe^x) = 1 + lim (-ye^-y) (ver nota)... (2 pontos)
Escrever 1+ lim (-ye^-y)=1+ lim -y/e^y (1 ponto)
Escrever 1+ lim -y/e^y = 1 – lim y/e^y (1 ponto)
Reconhecer o limite notável lim e^x/x = +∞ (1 ponto)
Obter lim f(x) (1) (1 ponto)
Concluir que a reta de equação y = 1 é assíntota horizontal do gráfico da função f, quando x → -∞ (1 ponto)
Determinar lim f(x) (5 pontos)
Escrever lim f(x) = lim (ln(x-3)-ln(x)) (1 ponto)
Escrever lim (ln(x-3) - ln(x)) = lim (ln((x-3)/x)) (2 pontos)
Escrever lim (ln((x-3)/x)) = lim (ln(1 - 3/x)) (1 ponto)
Obter lim f(x) (0) (1 ponto)
Concluir que a reta de equação y = 0 é assíntota horizontal do gráfico da função f, quando x → +∞ (1 ponto)
Nota – Se for referido que x → -∞ é equivalente a -x → +∞, esta etapa deve ser considerada como cumprida.